Вычисления выражений, содержащих степени и логарифмы
Ход решения: знать, как представить одно число в виде степени другого числа, знать свойства степеней и логарифмов.
Пример
а) 81 
- (0,125) 
+ 16 
=?
б) 
=?, 
=?
в) 
Решение уравнений, содержащих степени и логарифмы
Пример
а)Найти область определения функции у = lg (х 
– 11 х).
Ход решения: область определения – это ОДЗ, т.е. надо выписать скобки, сказать, что они >0, решить неравенство. Квадратные неравенства решаем, сначала приравнивая их к нулю, находя корни квадратного уравнения (!), затем чертим числовую прямую, отмечаем на ней найденные нами точки-корни. Расставляем на промежутке знаки, выписываем в ответ тот промежуток, где поставили знак “+”.
б) log 
(х 
– 7 х + 9) = –1.
log 
(2х - 8) = 2.
Ход решения: скобка слева, справа – основание, возведенное в степень. Решаем уравнение, находим 1 или два корня. Затем записываем ОДЗ (!), проверяем, подходят под это ОДЗ корни или нет. Если подходят – выписываем в ответ КОРНИ (не ОДЗ!!)
в) 8 
- 4 
8 
= 480
Ход решения: см. тетрадь. Расписываем степень (х+2), потом обозначаем число-в-степени-х как некую новую переменную-букву (например, 8 = y, y>0!). Решаем уравнение относительно этой новой переменной (y=8), делаем обратную подстановку (y=8, 8 =y => 8 =8, x=1).
Помним, что любое число в степени 0 равно единице!, любое число в степени 1 равно самому себе, степень (-1) переворачивает число.
г) 9 + 2 3 +1=0
Ход решения: см. тетрадь. Должно получиться квадратное уравнение, решив которое, мы получим либо один, либо два корня. (если один из корней получился отрицательным, он не подходит, должно быть только положительное число!) (+ повторите на всякий случай формулу дискриминанта и формулу корней квадратного уравнения)
Решение неравенств, содержащих степени и логарифмы
Пример
а) 27 
> (
) 
Ход решения. Приводим обе части к одинаковому основанию (в данном случае это 3), пишем “основание = 3 >1 (всегда -!- сравниваем с1) => знак не меняется ”. Соответственно, если основание <1, меняем знак неравенства, одновременно с этим опуская основания степеней.
Внимание! Знак неравенства должен меняться, если вы умножаете/делите на число отрицательное (напр., -x<1,=> x>-1).
Все. Дорешиваете свое неравенство, записываете в ответ ПРОМЕЖУТОК, не точку!.
б) log 2 (2 х + 1) > 4
Ход решения. Помним, что
- у логарифмов тоже есть основание. Пишем волшебную фразу ”основание равно ….”. То, что в скобках, пишем слева, меняем/не меняем знак, справа записываем основание, возведенное в степень (число справа).
Решаем неравенство, промежуток пишем в ответ.
4) Тригонометрия:
А) нахождение синуса/косинуса через косинус/синус
Пример.
Найти sin х, если cos х = 
; π < х < 
π.
Ход решения. Выписываем основное тригонометрическое тождество. Выражаем оттуда то, что надо нам. В данном случае выражаем sin2 х=1 - 
Не забываем, что надо извлечь корень и поставить перед ним знак +-.
Чтобы определить, какой нам нужен знак, чертим единичную окружность, отмечаем точки, узнаем, какая нам попалась четверть. По этой четверти определяем знак + или -.
б) решение тригонометрических уравнений (последнее задание по сложности, из-за нетривиальности формул)
Всего-то, что требуется. Чаще всего даются квадратные уравнения, их надо правильно решить, помнить, что синус/косинус угла не может быть больше 1 или меньше -1. Не забыть написать умную формулу для х.
Пример.
2 cos2 x + 7 sin x + 2 = 0
4 cos2x – 2 cos x= 2.
5) Производная:
а) физический смысл производной (тело движется по закону…. Найти момент времени/скорость в момент времени)
Пример.
1) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = -125 - 2 t + 0,5 t 
(м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
Ход решения: записать условие, найти производную от s(t), приравнять полученное выражение к нулю, решить уравнение, записать ответ.
2) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 10 t – 0,5 t +14 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 с после начала движения.
Ход решения: записать условие, найти производную от s(t), подставить в полученное выражение к нулю, решить уравнение, записать ответ.
б) найти точки экстремума (минимума/максимума)
в) найти промежутки возрастания/убывания
Ход решения одинаков. Ищем производную, приравниваем ее нулю, находим решения уравнения, отмечаем на числовой прямой. Чтобы определить знаки, подставляем разные числа из этих промежутков В ПРОИЗВОДНУЮ. Расставляем т.о. знаки, ставим стрелочки вверх/вниз, если производная больше/меньше нуля. Для возрастания/убывания выписываем промежутки (точки берутся в квадратных скобках), для минимума-максимума смотрим картинку.
Пример. Найдите точки экстремума, промежутки возрастания и убывания функции f(х) = 4х 
+6х –24х –22.