В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.
Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.
Обнулим коэффициенты при x во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:
Теперь обнулим коэффициент при y в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью:
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
z = -1 из третьего;
y = 3 из второго, подставив полученное z;
x = 2 из первого, подставив полученные z и y.
В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.
Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка:
В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:
Поэтому общее решение системы: x2=5x4–13x3–3; x1=5x4–8x3–1. Если предположить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0.
Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка.
Условие:
х1 – 2х2 – х3 + х4 = 1
х1 – 8х2 – 2х3 – 3х4 = -2
2х1 + 2х2 – х3 + 7х4 = 7
х1 + х2 + 2х3 + х4 = 1
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.
1 -2 -1 1 | 1
1 -8 -2 -3 | -2
2 2 -1 7 | 7
1 1 2 1 | 1
Проведём следующие действия:
1 из второй строки вычтем первую строку (cтрока 2 – строка 1);
2 из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (cтрока 3. 2*строка 1)
3 из четвертой строки вычтем первую строку (cтрока 4 – строка 1).
Получим:
1 -2 -1 1 | 1
0 -6 -1 -4 | -3
0 6 1 5 | 5
0 3 3 0 | 0
Проведём следующие действия:
1 к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 + строка 2);
2 четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3).
Получим:
1 -2 -1 1 | 1
0 -6 -1 -4 | -3
0 0 0 1 | 2
0 1 1 0 | 0
Проведём следующие действия:
1 четвертую строку поставим на место второй строки;
2 третью строку поставим на место четвертой строки;
3 вторую строку поставим на место третьей строки. Получим:
1 -2 -1 1 | 1
0 1 1 0 | 0
0 -6 -1 -4 | -3
0 0 0 1 | 2
К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 + (2 строка*6)). Получим:
1 -2 -1 1 | 1
0 1 1 0 | 0
0 0 5 -4 | -3
0 0 0 1 | 2
Проведём следующие действия:
1 к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка 3 + 4*строка4);
2 из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 – строка 4);
3 третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5).
Получим:
1 -2 -1 1 | 1
0 1 1 0 | 0
0 0 1 0 | 1
0 0 0 1 | 2
Проведём следующие действия:
1 из второй строки вычтем третью строку (строка 2 – строка 3);
2 к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3)
Получим:
1 -2 0 0 | 0
0 1 0 0 | -1
0 0 1 0 | 1
0 0 0 1 | 2
К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2*строка 2). Получим:
1 0 0 0 | -2
0 1 0 0 | -1
0 0 1 0 | 1
0 0 0 1 | 2
В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х1 = -2
х2 = -1
х3 = 1
х4 = 2
Заключение
При рассмотрении метода Гаусса, а также решения примеров, с помощью этого метода были выявлены следующие преимущества:
1 при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
2 методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
3 методом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
4 метод Гаусса основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
5 метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.
Следовательно, этот метод является наиболее удобым и практичным, при решении систем линейных уравнений.
Список литературы:
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов. - М.: Учеб. пособие, 1998.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Учеб. пособие, 1968.
3. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова // Инфра-М, Москва – 2009.