Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может совершать перемещения только в вертикальном направлении, следовательно, система имеет одну степень свободы.
Рис.14.1
Будем исследовать движение системы из ее исходного положения равновесия при t = 0 (рис.14.1, а), считая перемещение вниз положительным.
Пусть на балку действует динамическая сила величиной: 
, где 
- частота вынуждающей силы. Обозначая дополнительное перемещение массы m от динамических нагрузок через y (t), вводим следующие начальные условия:
; 
. (14.1)
В процессе движения на массу действует сила инерции 
и сила сопротивления по Фойхту 
. Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, трение в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.
Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего сопротивления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.
Вводим следующие обозначения: 
- вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке; 
- вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы 
, при этом: 
; 
- вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы при ее отсутствии.
Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произвольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:
, (14.2)
откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:
. (14.3)
Принимаем обозначения: 
- круговая частота собственных колебаний системы; 
- коэффициент затухания.
С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид:
. (14.4)
Решение дифференциального уравнения (14.4), с учетом начальных условий (14.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется 
, записывается в виде:
. (14.5)
Здесь приняты следующие обозначения:
; 
; 
. (14.6)
Круговая частота 
называется круговой частотой собственных колебаний системы с учетом сил затухания.
Коэффициент затухания колебания определяется по корректированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наиболее обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:
, (14.7)
где 
- называется логарифмическим декрементом затухания и определяется через отношения соседних амплитуд колебания, возникающих через промежуток времени 
:
. (14.8)
Для различных конструкций средние значения приводятся в таблице 14.1.
Таблица 14.1
| Наименование конструкции |
|
| Стальные мосты Железобетонные мосты Железобетонные балки Железобетонные рамы Железобетонные ребристые перекрытия | 0,17 0,63 0,56 0,25 0,57 |
Выражение (14.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы , изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения характеризует собственные колебания системы, а второй, интегральный член - вынужденные колебания.
Так как 
, то решение (14.5) преобразуется и принимает вид:
. (14.9)
Здесь приняты следующие обозначения:
; 
; 
. (14.10)
Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. 
, то решение (14.9) с учетом (14.10) преобразуется в виде:
.
Величина kД называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P0 = const.
Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения 
. При 
коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при 
называются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение:
.