Общее исследование функции и построение графика

С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление вогнутости графика, наличие асимптот. Обычно используют следующую схему исследования функций:

Определение области определения.
Определение четности или нечетности.
Определение периодичности функции.
Определение интервалов знака постоянства первой производной.
Определение интервалов знака постоянства второй производной.
Составление таблицы результатов.

х
у '
у ''
у

В первой строчке таблицы указываются интервалы, на которые разбивается область определения функции точками разрыва, точками экстремума и точками перегиба в порядке следования. Сами эти точки в порядке следования помещаются в отдельные столбцы. Во второй строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки первой производной. В третьей строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки второй производной. В четвёртой строчке определяется характер поведения функции в каждой ячейке. Если это точки экстремума или точки перегиба, то указываются значения функции в этих точках.
Нахождение асимптот.
Построение графика функции, начинается с построения асимптот и характерных точек.

Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме.

1) найти область определения функции;

2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;

3) исследовать непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;

6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

7) обозначить дополнительные точки графика функции, например, точки его пересечения с осями координат.

12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл, свойства и основные методы интегрирования.

1. Понятие первообразной функции. Свойства первообразной

Во многих вопросах науки и техники возникает необходимость восстанавливать функцию по ее известной производной.

Будем говорить, что функция в интервале называется первообразной функцией для функции , если

. (1.1)

Пусть — первообразная для , тогда любая функция , где , также будет первообразной для . Действительно,

Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема 1. Любые две первообразные функции отличаются на постоянную.

Доказательство. Пусть и - первообразные для . Это означает, что

и для .

Рассмотрим функцию . Для нее

Везде дальше произвольную постоянную будем обозначать .

2. Понятие неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла

Определение 1. Пусть функция определена на . Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом для и обозначается (при этом называется подинтегральным выражением):

где — одна из первообразных функции , .

Равенство интегралов

понимается как равенство множеств первообразных.

Пусть функции , , определены на , а , , — их соответствующие первообразные на . Через будем обозначать дифференциалы соответствующих функций. Тогда

;

;

, де ;

Докажем свойство 4:

13. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку .

Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма

или

, где .

Наибольшую из длин обозначим через .

Определенным интегралом функции на отрезке называется число, равное пределу интегральной суммы и обозначается , т.е.

Из условия следует, что .

Пределами интегрирования называются числа и .

Подынтегральной функцией называется функция .

Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Подчеркнем, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются между собой. Если неопределенный интеграл представляет семейство функций, то определенный - есть определенное число.

2. Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций (верно для любого числа слагаемых):

3. При перемене порядка интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:

4. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b и с справедливо

5. Обе части неравенства можно почленно интегрировать, т.е. если для всех , то

6. Для определенный интеграл становится функцией от переменного верхнего предела . Производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке :

7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что

Значение называется средним значением функции на .

Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в точке .

Геометрически теорема о среднем означает, что на отрезке найдется такая точка, что площадь под кривой на этом отрезке будет равна площади прямоугольника со сторонами и .

3. Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция непрерывна на , а функция - одна из ее первообразных, т.е. , тоопределенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной F(х) на этом отрезке, то есть

Эта формула сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла.

Разность называется приращением первообразной и обозначается .

Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).

14. Особенности вычисления определенных интегралов.

При замене переменных (подстановках)	При интегрировании по частям
Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и замену пределов интегрирования.	Не следует забывать, что определенный интеграл – это число, при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все найденные функции.
; где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ; .

15. Применение определенных интегралов для вычисления площадей плоских фигур.
Как следует из геометрического смысла определенного интеграла, для неотрицательной подынтегральной функции интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых и кривой . .
В общем случае, когда фигура ограничена сверху кривой , а снизу - , формула для вычисления площадей принимает вид
. В этой формуле знаки функций и значения не имеют.

а) Формула площади в декартовых координатах.

Итак, если ограничивающие кривые заданы в декартовых координатах , то
.

б) Формула площади для кривой, заданной параметрически.

Если - параметрические уравнения гладкой замкнутой кривой, пробегаемой против часовой стрелки и ограничивающей слева от себя область , то площадь области
= , или
.