И ЕЕ СВОЙСТВА
Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, т.е. законом распределения. Такой способ задания не является общим, т.к. он неприменим для непрерывных случайных величин. Наиболее общей формой закона распределения случайной величины Х является функция распределения.
Функцией распределения (интегральным законом распределения, интегральной функцией распределения) называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т. е:
F (x)= P(Х < x).
ПРИМЕР 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
| Х | ||||
| Р | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.
РЕШЕНИЕ.
1) х ≤ 3: F (х) = Р (Х < х) = 0;
2) 3 < x ≤ 4: F (х) = Р (Х < х) = Р (Х = 3) = 0,2;
3) 4 < x ≤ 7: F (х) = Р (Х < х) = Р (Х = 3) + Р (Х = 4) = 0,3;
4) 7 < x ≤ 10: F (х) = Р (Х < х) = Р (Х = 3) + Р (Х = 4) + Р (Х = 7) = 0,7;
5) x > 10: F (х) = Р (Х = 3) + Р (Х = 4) + Р (Х = 7) + Р (Х = 10) = 0,7 + 0,3 = 1.
 |
Из примера видим, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через точки ее возможных значений х 1,…, х n, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения.
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:
1. 0 £ F (x) £ 1;
2. P (a £ X < b) = P (a £ X £ b) = P (a < X < b) = F (b) – F (a);
3. F (x) – неубывающая функция, т.е. F (x 1) ³ F (x 2), если x 1 > x 2;
4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F (x) = 0 при х £ а, 2) F (x) = 0 при х ³ b.
5. F (-¥) = 0, F (+¥) = 1.
Перечисленные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
Если все возможные значения Х Î (а, b), то график F (x) имеет вид:
ПРИМЕР 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:
F (x) = 
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2;3).
РЕШЕНИЕ: Р (2 < Х < 3) = F (3) – F (2) = (3/2 – 1) – 0 = 0,5.
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть Х – непрерывная случайная величина с функцией распределения F (х). Найдем вероятность попадания этой случайной величины на элементарный участок (х, х + ∆ х):
Р (х < X < х + ∆ х)= F (х + ∆ х) – F (x)
Поделим обе части равенства на длину участка ∆ х:
Это отношение называют средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.
Пусть F (х) – дифференцируемая функция. Тогда:
.
Функцию f (x) = F ¢ (x) называют плотностью распределения случайной величины в точке x или дифференциальной функцией распределения. График функции f (x) называется кривой распределения. Очевидно, если все возможные значения X заполняют интервал (а, b), то вне этого интервала f (x) равна нулю.
СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:
1. f (x) ³ 0 " x;
2. F (x) = 
;
3. P (a < X < b) = 
;
4. 
ПРИМЕР. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины X:
f (x) = 
Найти интегральную функцию распределения F (x).
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой
F (x) = 
.
Если x £ 1, то f (x) = 0, следовательно,
Если 1 < x £ 2, то
Если x < 2, то
=1
Получили:
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Распространим понятие математического ожидания и дисперсии на непрерывные случайные величины.
Рассмотрим непрерывную случайную величину X, все возможные значения которой принадлежат отрезку [ a, b ]. И пусть f (x) – плотность распределения случайной величины X. Разобьем отрезок [ a, b ]. на n частичных отрезков с длинами D x 1,…, D x n. Внутри каждого отрезка выберем произвольную точку x i, i = 1, 2, …, n. Определим математическое ожидание X по аналогии с определением математического ожидания для дискретной случайной величины, а именно, составим сумму
,
где f (x i)D x i – примерное значение вероятности попадания случайной величины на отрезок D x i. Переходя к пределу, получим:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [ a, b ], называют определенный интеграл
М (X) = 
.
Если все возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей оси O x, то
M (X) = 
.
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [ a, b ], то
D (X) = 
.
Если возможные значения принадлежат всей оси O x, то
D (X) = 
.
Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин. В частности:
D (X) = 
.