Проблема обоснования математического знания




Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов: к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки. На вопрос о том, являются ли математические доказательства строгими, должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на стадии формирования понятий и логики рассуждения. Этот вопрос, однако, становится более трудным, если мы имеем в виду хорошо развитые математические теории, в которых есть система необходимых посылок и нет сомнений в характере используемых логических средств. Трудность положительного ответа заключается в том, что рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости. Это значит, что мы должны получить заключение о строгости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надежностью. Но могут ли существовать содержательные и одновременно безусловно строгие рассуждения? Подавляющее число логиков и философов сомневаются в совместимости этих требований.

Длительная неопределенность в положительном решении вопроса побудила многих философов настаивать на принципиальной нестрогости любого математического доказательства. Именно в этом плане И. Лакатос защищал положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Лакатос исходит из эмпирического взгляда на формирование математических понятий. Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиции и опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической теории. Исходные понятия математики, данные в аподиктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютно надежного. Необходимо сделать выбор между этими двумя подходами. Это значит, что проблема строгости математических доказательств может быть решена только при прояснении природы элементарных очевидностей, лежащих в его основе. Она сводится, таким образом, к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом как общими философскими воззрениями на природу математических понятий.

Эта проблема была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Парадоксы поставили перед математиками две задачи. Первая из них состояла в том, чтобы найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для логики математических рассуждений, которые были бы достаточными для устранения парадоксов. Вторая, более широкая задача состояла в том, чтобы сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость.

Первую задачу можно считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б.Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций. Но являются ли эти ограничения достаточными для устранения любых парадоксов, в том числе и тех, которые могут появиться в будущем? Проведенные исследования пока не позволяют утвердительно ответить на этот вопрос, и есть основания считать, что при такой общей постановке проблема является неразрешимой.

В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком и философом Г. Фреге еще до появления парадоксов. Ее суть состояла в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин. Поскольку классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе понятий, то, согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолютную непротиворечивость. А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундаментальном труде «Principia Mathematica» (Vol. 1—3. 1910—1913) предприняли попытку систематического анализа основных математических теорий в плане их сведения к логике. Общий вывод состоял в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такое сведение может быть осуществлено для всех основных математических теорий.

Однако К. Гедель в своей знаменитой статье «О неразрешимых предложениях "Principia Mathematica" и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий.

Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу сведения математики к исходным представлениям арифметики. При этом Брауэр существенно ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода. В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения. Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности. Все допустимые математические объекты должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такого рода конструктивной перестройки математики она является абсолютно гарантированной от противоречий. Многие математики были согласны с Брауэром в том, что конструктивная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы удалось свести к арифметике достаточно широкую область математики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно. Однако сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.

Наиболее обоснованной теоретически была формалистская программа, предложенная Д. Гильбертом. Мы можем понять сущность программы Гильберта из его отношения к исследованиям Рассела и Брауэра. Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Расселом, не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые могут быть поняты только как некоторого рода гипотезы. Он был категорически не согласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики. Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута только через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая интуиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Брауэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математическим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена и вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третьего, не может быть применена к нему в качестве безусловной истины. Исходя из этого положения, Гильберт сформулирует принципфинитизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное.

Финитизм Гильберта был не столь радикален, как финитизм Брауэра: если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще как понятие, не имеющее смысла, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование. Процедура обоснования математики, таким образом, предполагает полную формализацию теории, заключающуюся в представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов. Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования. Метатеория должна быть безусловно истинной и достаточной для строгого обоснования непротиворечивости формализма, которое должно состоять в доказательстве того факта, что в его рамках в соответствии с правилами логики и правилами введения производных объектов не может быть получено выражение, имеющее вид «О = 1». Целью формалистского анализа являются реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога. Гильберт формулирует ряд требований к метатеории, которые известны как принципы гильбертовского финитизма, согласно которым метатеория является:

1) синтаксической в том смысле, что она имеет дело только со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре.
2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формализму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;

3) финитной, ибо она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, связанными с допущением актуальной бесконечности;
4) конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.

Все эти требования являются необходимыми для метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влиянием логицистского и интуиционистского анализа проблемы. Методологический замысел Гильберта состоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое рассуждение таким образом, чтобы оно гарантировало его абсолютную достоверность. Метатеория должна быть способной доказывать непротиворечивость формализованных теорий и непротиворечивость соответствующих им содержательных теорий, независимо от их содержания. Гильберт считал, что метатеория должна включать в себя только математически определенные понятия. Принимая факт априорности элементарной математики, он отождествляет априорность с финитностью и формулирует требование финитности в качестве основного критерия для метатеории.

Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно которой, если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории. Мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Ясно, что это противоречит исходному замыслу Гильберта, который надеялся обосновать сложные математические теории некоторыми достаточно простыми средствами. Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники. В этом случае нужно признать, что математика, как и другие науки, обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности. ограничена определенной системой требований.

Логические исследования, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют о полной надежности классической логики. Здесь достаточно напомнить об исследованиях А. Н. Колмогорова, которые показывают, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть переведены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон. Об этом же говорит и теорема Гёделя, согласно которой классическая арифметика является столь же непротиворечивой, как и арифметика интуиционистская. С точки зрения этих и многих других результатов представляется правомерным вывод о полной надежности классической логики и о неправомерности брауэровскрой критики закона исключенного третьего. Но если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности метаязыка, которые являются действительно существенными. Анализ показывает, что это привело бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств. Аналогичная критика представляется справедливой и в отношении некоторых других требований к метатеории. Современный анализ логики математического мышления позволяет утверждать, что семантические средства должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательных рассуждений, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатеорию в ее гильбертовском понимании.

В настоящее время уже имеются убедительные с математической точки зрения доказательства непротиворечивости математических теорий с использованием семантических соображений. Здесь можно указать на доказательство непротиворечивости арифметики, данное Н.М. Нагорным, которое исходит из понятия реализуемости. Гносеологический анализ показывает, что слишком сильным и не вполне оправданным является также общее требование Гильберта к структуре метатеории, предусматривающее полное исключение из нее определений, не относящихся к математике. Несомненно, что метатеоретическое рассуждение может прибегать к очевидным представлениям, не имеющим строгого математического определения. Современный логический и гносеологический анализ свидетельствует, что мы можем отказаться не только от ограничений на логику метатеории, но в определенной мере и от требования финитности.

Из сказанного можно сделать следующий вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолютных запретов на появление других более успешных программ, которые будут исходить из более адекватных представлений о природе математического мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.

Глоссарий

Аподиктический - безусловнодостоверный, основанный на необходимости, неопровержимый.

Эмпиризм – направление в теории познания, признающее чувственный опыт источником знания и предполагающее, что содержание знания может быть либо представлено как описание этого опыта, либо сведено к нему.

Априоризм - философское учение, согласно которому существует знание, полученное человеком до опыта и
независимо от него.

Финитизм - философское учение, отрицающее понятие бесконечного и утверждающее, что бесконечность не имеет места ни во вселенной, ни в микромире, ни в человеческом мышлении.

Формализм - предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием в различных сферах человеческой деятельности.

Метатеория - теория, изучающая язык, структуру и свойства некоторой др. теории.

Гносеология – теория познания.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: