МАТЕМАТИКА
Дифференциальное исчисление
функций одной и нескольких переменных
Методические указания и задачи
к практическим занятиям для студентов
I курса очной формы обучения
инженерно-технических специальностей
(II семестр)
Брянск 2011
УДК 511
Математика. Дифференциальные исчисления функций одной и нескольких переменных [Текст]+[Электронный ресурс]: методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения инженерно-технических специальностей (II семестр). – Брянск: БГТУ. - 28с.
Разработали: доц. Ольшевская Н.А.
доц. Цуленева Г.Г.
асс. Сенько К.А.
Рекомендовано кафедрой «Высшая математика»
(протокол №2 от 18.10.11).
Научный редактор Гореленков А.И.
Редактор издательства Королева Т.И.
Компьютерный набор Левкина А.П.
Темплан 2011 г., п. 226
Подписано в печать 18.11.11. Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная
Офсетная печать. Печ. л. 1,63 Уч.-изд. л. 1,63 Т. 30 экз. Заказ Бесплатно
Издательство Брянского государственного технического университета
Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, тел. 588-249
Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящие методические указания ориентированы на студентов I курса очной формыобучения инженерно-технических специальностей.
В методических указаниях приводятся необходимые для практических занятий теоретические сведения и большое количество примеров и задач различного уровня сложности для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Все задания снабжены ответами.
Методические указания и подобранные задачи должны помочь студентам освоить программу курса и приобрести устойчивые практические навыки решения задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………………………………………………3
Глава 1 Дифференцирование функций………………………………5
1.1 Основные правила дифференцирования….……..………5
1.2. Уравнения касательной и нормали
к плоской кривой……………………………………………8
1.3. Производные высших порядков.
Правила Лапиталя………………………………………….9
1.4. Монотонность функций. Экстремумы.
Наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке…………………………………….….11
1.5. Промежутки выпуклости,
вогнутости графика функции.
Точки перегиба. Асимптоты………………….……………14
1.6. Параметрически заданные функции.
Векторная функция скалярного аргумента.
Кривизна плоской кривой………………..……….……….17
Глава 2. Функции нескольких переменных…………………………18
2.1. Понятие функции нескольких переменных…………..…18
2.2. Частные производные первого порядка.
Полный дифференциал……………………………….….20
2.3. Дифференцирование сложных и неявных функций……22
2.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности……..24
2.5. Производная по направлению. Градиент……………….25
2.6. Экстремум функции двух переменных………………….27
Список рекомендуемой литературы…………………………………..28
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Основные формулы дифференцирования
1) с′=0, где с – const; 2) (хn)′ = nxn-1;
3) (ax)′= axlna; 4) (ex)′= ex ;
5) (lgax)′= 
; 6) (lnx)′= 
;
7) (sinx)′= cosx; 8) (cosx)′=- sinx;
9) (tgx)′= 
; 10) (ctgx)′= 
;
11) (arcsinx)′= 
; 12)(arccosx)′= 
;
13) (arctgx)′= 
; 14)(arcctgx)′= 
.
Основные правила дифференцирования
Пусть u=u(x), v=v(x). Тогда
1) (u(x) ± v(x))′=u′(x) ± v′(x);
2) (u(x) v(x))′=u′(x)v(x)+u(x) v′(x);
3) 
;
4) (cf(x))′= cf ′(x).
Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), если u=u(x), состоит (f(u(x))) ′= f′(u)u′(x).
1.1.1. Найти производные следующих функций:
1) f(x)= 3 x 2-5 x +1; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) y=x2sinx; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) y=xarcsinx; 16) 
;
17) 
; 18) 
;
19) y=xlnx; 20) 
;
21) 
; 22) y=(sinx)log5x;
23) y= 2x+10x ; 24) 
;
25) y=excosx; 26) 
;
27) y=(x 2-10 x +5)10 ; 28) 
;
29) 
; 30) 
;
31) y=sin 2 x+cos 5 x; 32) y=tgx 2 +ctgx 3 ;
33) y=sin 2 x- 3 cos 3 x; 34) y=tg 35 x;
35) y= 3 sin 2 ( 2 x +5); 36) 
;
37) 
; 38) y=ln( 1-2 x);
39) 
; 40) 
;
41) 
; 42) y=(sinx)cosx ;
43) y=(x+ 5 ) 2/x ; 44) y=(x 2+1 )sinx ;
1.1.2. Найти производные у ′х неявных функций:
1) х 2-5 ху +8 у 3=5; 2) 
;
3) l 2 x + l 3 y -5 xy =0; 4) lxsiny+lycosx= p;
5) y-x=arctgy; 6) 
.
______________________
1.1.3. Найти производные следующих функций:
1) y=x 4-4 x 3+0,5 x 2-2 x +3; 2) 
;
3) 
; 4) y=(x 2+5 x)sinx;
5) 
; 6) y=( 2 x+ 5 ) 7 ;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) y=ln( 5-2 x 2 );
11) y=lncos 5 x; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) y=sin 23 x+sin 9 x 2 ;
17) 
; 18) 
.
1.1.4. Найти производные у ′х неявных функций:
1) у 2+ х 2= lnxy; 2) xsiny+ysinx= 0.