Кривая называется выпуклой в точке х=х 0, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).
В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y" >0, то кривая вогнутая, если y" <0, то кривая выпуклая.
Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.
Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.
Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.
Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.
Если 
, то прямая х=а есть вертикальная асимптота.
Если 
, то прямая х=b – горизонтальная асимптота.
Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где 
; 
.
Замечание. Пределы при х ®∞, х ®-∞ находятся отдельно.
Алгоритм полного исследования функции y=f(x)
1. Найти область определения функции; точки разрыва.
2. Найти асимптоты графика функции.
3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.
4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
6. Найти точки пересечения графика с осями координат.
7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.
___________________
1.5.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:
а) у=х 5-5 х -6; б) у=(х- 5 ) 5/3+2;
в) у=хе х; г) у=х 4-8 х 3+24 х 2.
Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;
б) р(5;2) – точка перегиба;
в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;
г) точек перегиба нет.
1.5.2. Найти асимптоты графика функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) y=-xarctgx.
Ответ: а) х =-2, у =3; б) х =1, х = -6, у =0; в) у=х -6;
г) 
1.5.3. Исследовать функции и построить их графики:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Ответ: а) у min(2)=3; асимптоты у = х, х =0;
б) у min(2Ö3)=3Ö3, у max(-2Ö3)= -3Ö3; (0;0) – точка перегиба; х =±2, у=х – асимптоты;
в) у max(е 2)=2/ е, у =0 – асимптоты;
г) у max(1)= е.
1.5.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:
а) 
; б) 
;
в) y=ln|x|; г) 
.
Ответ: а) (2;-8/3); б) 
; в) точек перегиба нет;
г) 
.
1.5.5. Найти асимптоты графиков функций:
а) 
; б) y=x-arctgx;
в) 
.
Ответ: а) х= 0; у =1; б) 
; в) у= 2 х; х =0.
1.5.6. Исследовать функции и построить графики:
а) 
; б) 
.
Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) у min(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х =2; у = х +4 – асимптоты.
Параметрически заданные функции.
Векторная функция скалярного аргумента.
Кривизна плоской кривой
Пусть даны две функции переменной величины 
, рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическимуравнениемкривой.
Если 
, то 
, а 
.
Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R3своими параметрическими уравнениями: 
. Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор 
, который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора 
, называется годографом.
Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:
Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина 
определяет ее кривизну.
Радиус кривизны есть 
. Для параметрически заданной кривой 
.
________________
1.6.1. Найти 
, если x=arccost, y=arcsint.
Ответ: 
.
1.6.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.
Ответ: 
.
1.6.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением 
. Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t =0; t =1.
Ответ: 
.
1.6.4. Определить кривизну кривой 
при t =1.
Ответ: 
.