Аналитическая геометрия
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Аналитическая геометрия» в 3−м семестре студенты должны
знать:
· Аффинные и барицентрические координаты в аффинном пространстве
· Описание движений аффинного пространства
· Способы задания плоскостей в аффинных пространствах
· Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
· Квадрики аффинного пространства
уметь:
· Исследовать прямые и плоскости
· Владеть элементами векторной алгебры
· Приводить квадрики к каноническому виду ортогональными неоднородными заменами и находить их характеристики
·
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Конечномерные аффинные пространства
Аффинные пространства, аффинная система координат, репер. Изменения координат при смене репера. Барицентрические координаты в аффинном пространстве. Аффинные оболочки множеств, аффинные подпространства и их свойства. Теоремы Чевы и Менелая.
Тема 2: Отображения аффинных пространств
Аффинные линейные функции и их свойства. Аффинные отображения аффинных пространств и их свойства. Описание движений аффинного пространства.
Тема 3: Основы линейного программирования
Выпуклые множества и выпуклые оболочки в аффинном пространстве. Симплексы. Выпуклые тела и их свойства. Полуплоскость, полупространство, опорная полуплоскость выпуклого тела. Теорема отделимости выпуклых тел. Выпуклый многогранник, его грани и их свойства. Теорема Минковского−Вейля. Основная теорема линейного программирования и её приложения.
Тема 4: Прямые и плоскости
Прямые на вещественной плоскости, способы задания и свойства. Плоскости в вещественном пространстве, способы задания и свойства. Прямые в вещественном пространстве, способы задания и свойства.
Тема 5: Элементы векторной алгебры
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Объёмы параллелепипедов в евклидовых пространствах. Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве. Смешанное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве.
Тема 6: Квадрики
Билинейные, квадратичные функции. Квадрики аффинного пространства. Приведение квадрик к каноническому виду ортогональными неоднородными заменами. Аффинная и ортогональная классификация кривых II порядка. Эллипс и его свойства. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства. Конические и цилиндрические сечения, геометричес-кий смысл фокусов и директрис. Аффинная и ортогональная классификация поверх-ностей II порядка.
ТЕМЫПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
- Элементы векторной алгебры.
- Декартовы координаты, изменение системы координат.
- Системы координат на плоскости и в пространстве.
- Прямые на вещественной плоскости.
- Прямая и плоскость в трехмерном вещественном пространстве.
- Нахождение канонического вида кривой второго порядка на плоскости.
- Нахождение канонического вида поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требование к зачету
Необходимо знать следующие алгоритмы:
- Замена репера, нахождение координат точек в новом базисе.
- Нахождение пересечения подпространств.
- Нахождение скалярных, векторных и смешанных произведений векторов.
- Задание прямых и плоскостей уравнениями в аффинных координатах.
- Нахождение центров тяжести систем точек.
- Процесс ортогонализации Грама−Шмидта.
- Нахождение канонического вида квадрики, замена координат.
- Построение кривых второго порядка на вещественной плоскости.
- Построение поверхностей второго порядка в вещественном пространстве.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Аффинная плоскость, репер в ней, аффинные координаты и их изменение при смене репера.
2. Евклидовая вещественная плоскость, проекции векторов, углы между векторами, расстояния между точками. Окружность.
3. Прямые на аффинной и евклидовой вещественной плоскости, различные способы их задания, свойства, взаимное расположение, расстояние от точки до прямой, геометрический смысл уравнений.
4. Аффинное пространство, репер в нём, аффинные координаты и их изменение при смене репера.
5. Евклидовое вещественное пространство, проекции векторов, углы между векторами, расстояния между точками.
6. Плоскости в аффинном и евклидовом вещественном пространстве, способы их задания, взаимное расположение, расстояние от точки до плоскости, геометрический смысл уравнений.
7. Прямые в аффинном и евклидовом вещественном пространстве, различные способы их задания, их взаимное расположение, геометрический смысл уравнений.
8. Алгоритмы ортогонализации Грама-Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве.
9. Объёмы параллелепипедов в евклидовых пространствах, связь с матрицей Грама. Ориентация в пространстве.
10. Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве и его свойства.
11. Смешанное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве и его свойства.
12. Применения векторного и смешанного произведения для нахождения расстояний и направлений в трёхмерном евклидовом пространстве.
13. Билинейные и квадратичные функции. Зависимость вида их уравнений от репера. Квадрики аффинного пространства.
14. Приведение квадрик евклидового пространства к каноническому виду неоднородными ортогональными заменами, нахождение канонического базиса. Общая классификация квадрик.
15. Классификация кривых II порядка на евклидовой плоскости.
16. Эллипс и его свойства.
17. Гипербола и её свойства.
18. Парабола и её свойства.
19. Описание цилиндрических сечений.
20. Описание конических сечений.
21. Классификация поверхностей II порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.
22. Свойства конусов, гиперболоидов и параболоидов в трёхмерном евклидовом пространстве.
23. Определение конечномерных аффинных пространств и их примеры.
24. Аффинная система координат, репер. Изменение координат при смене репера.
25. Барицентрические координаты в аффинном пространстве и их геометрический смысл.
26. Аффинные оболочки множеств, аффинные подпространства, их описание и взаимное расположение.
27. Барицентрический критерий аффинной независимости точек. Теоремы Чевы и Менелая.
28. Аффинные линейные функции и их свойства.
29. Выпуклые множества, выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в аффинном пространстве. Симплексы.
30. Выпуклые тела и их свойства их внутренних точек.
31. Гиперплоскость и полупространства, их свойства. Опорная гиперплоскость выпуклого тела и её описание.
32. Теорема отделимости выпуклых тел.
33. Крайние точки ограниченных выпуклых тел и их свойства.
34. Выпуклый многогранник, его грани и крайние точки. Примеры.
35. Описание граней выпуклого многогранника.
36. Теорема Минковского-Вейля.
37. Основная теорема линейного программирования и её приложения.
38. Аффинные отображения аффинных пространств и их свойства.
39. Описание движений аффинного пространства.