ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ




Аналитическая геометрия

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

 

 

В результате изучения дисциплины «Аналитическая геометрия» в 3−м семестре студенты должны

знать:

· Аффинные и барицентрические координаты в аффинном пространстве

· Описание движений аффинного пространства

· Способы задания плоскостей в аффинных пространствах

· Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

· Квадрики аффинного пространства

уметь:

· Исследовать прямые и плоскости

· Владеть элементами векторной алгебры

· Приводить квадрики к каноническому виду ортогональными неоднородными заменами и находить их характеристики

·

СОДЕРЖАНИЕ

 

Тема 1: Конечномерные аффинные пространства

 

Аффинные пространства, аффинная система координат, репер. Изменения координат при смене репера. Барицентрические координаты в аффинном пространстве. Аффинные оболочки множеств, аффинные подпространства и их свойства. Теоремы Чевы и Менелая.

 

Тема 2: Отображения аффинных пространств

 

Аффинные линейные функции и их свойства. Аффинные отображения аффинных пространств и их свойства. Описание движений аффинного пространства.

 

Тема 3: Основы линейного программирования

 

Выпуклые множества и выпуклые оболочки в аффинном пространстве. Симплексы. Выпуклые тела и их свойства. Полуплоскость, полупространство, опорная полуплоскость выпуклого тела. Теорема отделимости выпуклых тел. Выпуклый многогранник, его грани и их свойства. Теорема Минковского−Вейля. Основная теорема линейного программирования и её приложения.

 

Тема 4: Прямые и плоскости

 

Прямые на вещественной плоскости, способы задания и свойства. Плоскости в вещественном пространстве, способы задания и свойства. Прямые в вещественном пространстве, способы задания и свойства.

 

Тема 5: Элементы векторной алгебры

 

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Объёмы параллелепипедов в евклидовых пространствах. Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве. Смешанное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве.

 

Тема 6: Квадрики

 

Билинейные, квадратичные функции. Квадрики аффинного пространства. Приведение квадрик к каноническому виду ортогональными неоднородными заменами. Аффинная и ортогональная классификация кривых II порядка. Эллипс и его свойства. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства. Конические и цилиндрические сечения, геометричес-кий смысл фокусов и директрис. Аффинная и ортогональная классификация поверх-ностей II порядка.

 

ТЕМЫПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

  1. Элементы векторной алгебры.
  2. Декартовы координаты, изменение системы координат.
  3. Системы координат на плоскости и в пространстве.
  4. Прямые на вещественной плоскости.
  5. Прямая и плоскость в трехмерном вещественном пространстве.
  6. Нахождение канонического вида кривой второго порядка на плоскости.
  7. Нахождение канонического вида поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве.

 

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ

 

Требование к зачету

Необходимо знать следующие алгоритмы:

 

  1. Замена репера, нахождение координат точек в новом базисе.
  2. Нахождение пересечения подпространств.
  3. Нахождение скалярных, векторных и смешанных произведений векторов.
  4. Задание прямых и плоскостей уравнениями в аффинных координатах.
  5. Нахождение центров тяжести систем точек.
  6. Процесс ортогонализации Грама−Шмидта.
  7. Нахождение канонического вида квадрики, замена координат.
  8. Построение кривых второго порядка на вещественной плоскости.
  9. Построение поверхностей второго порядка в вещественном пространстве.

 

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

 

 

1. Аффинная плоскость, репер в ней, аффинные координаты и их изменение при смене репера.

2. Евклидовая вещественная плоскость, проекции векторов, углы между векторами, расстояния между точками. Окружность.

3. Прямые на аффинной и евклидовой вещественной плоскости, различные способы их задания, свойства, взаимное расположение, расстояние от точки до прямой, геометрический смысл уравнений.

4. Аффинное пространство, репер в нём, аффинные координаты и их изменение при смене репера.

5. Евклидовое вещественное пространство, проекции векторов, углы между векторами, расстояния между точками.

6. Плоскости в аффинном и евклидовом вещественном пространстве, способы их задания, взаимное расположение, расстояние от точки до плоскости, геометрический смысл уравнений.

7. Прямые в аффинном и евклидовом вещественном пространстве, различные способы их задания, их взаимное расположение, геометрический смысл уравнений.

8. Алгоритмы ортогонализации Грама-Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве.

9. Объёмы параллелепипедов в евклидовых пространствах, связь с матрицей Грама. Ориентация в пространстве.

10. Векторное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве и его свойства.

11. Смешанное произведение в трёхмерном евклидовом пространстве и его свойства.

12. Применения векторного и смешанного произведения для нахождения расстояний и направлений в трёхмерном евклидовом пространстве.

13. Билинейные и квадратичные функции. Зависимость вида их уравнений от репера. Квадрики аффинного пространства.

14. Приведение квадрик евклидового пространства к каноническому виду неоднородными ортогональными заменами, нахождение канонического базиса. Общая классификация квадрик.

15. Классификация кривых II порядка на евклидовой плоскости.

16. Эллипс и его свойства.

17. Гипербола и её свойства.

18. Парабола и её свойства.

19. Описание цилиндрических сечений.

20. Описание конических сечений.

21. Классификация поверхностей II порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.

22. Свойства конусов, гиперболоидов и параболоидов в трёхмерном евклидовом пространстве.

23. Определение конечномерных аффинных пространств и их примеры.

24. Аффинная система координат, репер. Изменение координат при смене репера.

25. Барицентрические координаты в аффинном пространстве и их геометрический смысл.

26. Аффинные оболочки множеств, аффинные подпространства, их описание и взаимное расположение.

27. Барицентрический критерий аффинной независимости точек. Теоремы Чевы и Менелая.

28. Аффинные линейные функции и их свойства.

29. Выпуклые множества, выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в аффинном пространстве. Симплексы.

30. Выпуклые тела и их свойства их внутренних точек.

31. Гиперплоскость и полупространства, их свойства. Опорная гиперплоскость выпуклого тела и её описание.

32. Теорема отделимости выпуклых тел.

33. Крайние точки ограниченных выпуклых тел и их свойства.

34. Выпуклый многогранник, его грани и крайние точки. Примеры.

35. Описание граней выпуклого многогранника.

36. Теорема Минковского-Вейля.

37. Основная теорема линейного программирования и её приложения.

38. Аффинные отображения аффинных пространств и их свойства.

39. Описание движений аффинного пространства.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: