I. Варианты индивидуальных заданий
Задание 1.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х), заданную на отрезке [-π; π].
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1.7. 
1.8. 
1.9. 
1.10. 
1.11. 
1.12. 
1.13. 
1.14. 
1.15. 
1.16. 
1.17. 
1.18. 
1.19. 
1.20. 
1.21. 
1.22. 
1.23. 
1.24. 
1.25. 
Задание 2
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 
) функцию f (х), заданную на отрезке [- 
; ].
2.1. 
, [-3; 3]; T =6.
2.2. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.3. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.4. 
, [-3; 3]; T =6.
2.5. 
, [-1/2; 1/2]; T = 1.
2.6. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.7. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.8. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.9. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.10. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.11. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.12. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.13. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.14. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.15. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.16. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.17. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.18. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.19. 
, [-3/4; 3/4]; T = 1.5.
2.20. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.21. 
, [-3; 3]; T =6.
2.22. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.23. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.24. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.25. 
, [-2; 2]; T = 4.
Задание 3.
На заданном отрезке разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (х).
3.1. 
, [-π; π ]; T = 2π.
3.2. 
, [-π; π ]; T = 2π.
3.3. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.4. 
, [-3; 3]; T = 5.
3.5. 
, T = 2π.
3.6. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.7. 
, [-4; 4]; T = 8.
3.8. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.9. 
, [-1/2; 1/2]; T = 1.
3.10. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.11. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.12. 
, [-3; 3]; T = 5.
3.13. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.14. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.15. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.16. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.17. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.18. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.19. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.20. 
, [-3; 3]; T = 5.
3.21. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.22. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.23. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.24. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.25. 
, [-π; π]; T = 2π.
Задание 4.
Разложить в ряд Фурье функцию f (х), заданную на полупериоде [0; ], продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом.
Построить графики функций.
4.1. 
4.2. 
, [0; π].
4.3. 
4.4. 
, [0; 3].
4.6. 
4.5. 
, [0; π].
4.7. 
4.8. 
4.9. 
, [0; 5].
4.10. 
, [0; π].
4.11. 
4.12. 
4.13. 
, [0; 2].
4.14. 
, [0; π].
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
, [0; π].
4.19. 
4.20. 
, [0; 2].
4.21. 
4.22. , [0; π].
4.23. 
, [0; π].
4.24. 
4.25. 
Задание 5.
Представить комплексной формой ряда Фурье функцию f (х) периода , заданную на указанном интервале.
5.1. 
, (-3; 3), T =6.
5.2. 
, T = π.
5.3. 
, (-π/4; π/4), T = π/2.
5.4. 
, [-π; π], T =2π.
5.5. 
, (-π/2; π/2), T = π.
5.6. 
, T = 2π.
5.7. 
, (-π; π), T =2π.
5.8. 
, [-2; 2], T =4.
5.9. 
, (-π; π), T =2π.
5.10. 
, (-π/2; π/2), T = π.
5.11. 
, T = 4π.
5.12. 
, [-π; π], T =2π.
5.13. 
, (-π/2; π/2), T = π/2.
5.14. 
, (-1/2; 1/2), T = 1.
5.15. 
, (-2π;2π), T =4π.
5.16. 
, (-π; π), T =2π.
5.17. 
, (-π; π), T =2π.
5.18. 
T = 1.
5.19. 
, (-1/2; 1/2), T = 1.
5.20. 
T =π.
5.21. 
T =π.
5.22. 
, (-2π;2π), T =4π.
5.23. 
T =2.
5.24. 
T =π.
5.25. 
T =2.
Задание 6.
1. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + 
), если f (x) = x при 0 < x <1 и f (x) = 0 при x 
1.
2. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = x +1при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
3. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + ),
если f (x) = 2 x при 
и f (x) = 0 при 
.
4. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = x - 1при 0 < x <1 и f (x) = 0 при x 1.
5. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 x +1при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
6. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + )
если f (x) = 2 x - 1при 
и f (x) = 0 при 
.
7. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 - x при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
8. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 3 x - 2при 0 < x <1 и f (x) = 0 при x 1.
9. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + ),
если f (x) = 1 - x при и f (x) = 0 при .
10. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 3 - 2 x при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
11. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 x +4при 0 < x <3 и f (x) = 0 при x 3.
12. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 x +4при 0 < x <3 и f (x) = 0 при x 3.
13. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ), если f (x) = 1 - 2 x при 0 < x <1 и f (x) = 0 при x 1.
14. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 -3 x при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
15. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + ),
16. если f (x) = 2 x - 4при и f (x) = 0 при
17. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 3 x при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
18. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ), если f (x) = 1 - x при 0 < x <4 и f (x) = 0 при x 4.
19. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + ),
если f (x) = 3 - x при 
и f (x) = 0 при 
.
20. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = x +3при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
21. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 x+ 2при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
22. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + ),
если f (x) = 3 x при и f (x) = 0 при .
23. Найти синус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = x + 1при 0 < x <1 и f (x) = 0 при x 1.
24. Найти косинус – преобразование функции f (x), заданной в интервале (0; + ),
если f (x) = 2 x - 1при 0 < x <2 и f (x) = 0 при x 2.
25. Найти преобразование функции f (x), заданной в интервале (- ; + )
если f (x) = 2 x + 1при и f (x) = 0 при .
II. Выполнение расчетного задания
Выполнение первого задания
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х), заданную на отрезке [-π; π].
Решение.
Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а поэтому разлагается в ряд Фурье. Найдём коэффициенты искомого ряда
.
Ответ: искомое разложение функции в ряд Фурье имеет вид
.