Бесконечно большие и бесконечно малые функции.




Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

Признаки существования предела последовательности

1Теорема (признак существования предела). Теорема Вейерштрасса Если последовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

2Теорема (признак существования предела).или теорема о двух милиционерах. Если одна

последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.

3Критерий Коши:Для существования предела последовательности {Xn}, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон>0 существовало N=N(эпсилон) такое, что для всех n>N и p>0, |Xn-X(n+p)|<эпсилон.

Замечательный предел типа e

Вторым замечательным пределом называется предел Число, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов. Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между 2 3/7 и 3. Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число и доказывается это с помощью формулы Бинома Ньютона.

 

Предел функции в точке.

Имеется также определение предела функции, при стремлении

аргумента к определенному значению а, называемого пределом функции в

точке. Число A называется пределом функции y = f(x) при xa, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: Это определение называется определением на языке ε и δ,предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

 

25. определение предела функции на языке

 

Геометрический смысл предела функции в точке

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции

в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нем точки

x=a и y=A.

Предел функции y=f(x) в точке x стремящееся к а существует и равен A, если

для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки

a, что для любого x из этой δ-окрестности значение f(x) будет находиться в

ε-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для

существования предела при xa не важно, какое значение принимает

функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не

определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не

менее, предел может быть равен A.

 

Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Функция называется бесконечно большой при x стремящееся a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e.

28. свойства функций имеющих предел

29. односторонние пределы функции в точке

 

41. Определение производной

42. Производная как скорость изменения функции

43. Геометрический смысл производной

44. Связь между непрерывностью и существованием производной

45. Правило вычисления производной от суммы, произведения и частного функций

46. Производная сложной функции

47. Нахождение производных от основных элементарных функций

48. Бином Ньютона

 

49. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке

50. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

51 понятие о дифференциале функции

52. Геометрический смысл дифференциала функции

53. Связи дифф. И и производной функции

54. свойства дифференциала

 

55. Таблица дифференциалов

 

56. Теоремы о первообразных функции

 

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

 

Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1(x)+C, где С – постоянная.

 

57. Определение и свойства неопределенного интегралда от функции

 

 

58. таблица простейших неопределенных интегралов

 

59. Метод подстановки вычислений неопределенного интеграла

 

60.Метод взятия интеграла по частям



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: