Таблица 2.1.
| Вариант | Величины | Замкнутые выключатели | ||||||||||||||
 , В
|  , В
|  , В
|  , В
|  , В
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
|  , Ом
| ||
| – | – | – | 0,2 | 0,2 | – | – | – | 0,8 | – | В2, В3, В4 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | 0,2 | – | – | 0,8 | – | В2, В4, В5 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | 0,4 | – | 0,4 | 0,2 | В2, В5, В6 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | – | 0,4 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | В2, В6, В7 | |||||
| – | – | – | – | 0,2 | – | – | – | 0,2 | 0,4 | 0,4 | В2, В7, В4 | |||||
| – | – | – | – | – | – | – | В3, В4, В5 | |||||||||
| – | – | 0,2 | – | – | – | – | 1,8 | В3, В5, В6 | ||||||||
| – | – | 0,2 | – | – | – | – | 1,2 | 1,9 | В3, В6, В7 | |||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | – | – | 0,8 | В3, В7, В5 | |||||||
| – | – | 0,4 | – | – | – | 0,4 | 0,4 | – | 1,6 | 1,6 | В4, В5, В6 | |||||
| – | – | 0,2 | – | – | – | – | 0,5 | 1,9 | 0,8 | 0,5 | В4, В6, В7 | |||||
| – | – | – | 0,4 | – | – | – | – | 1,3 | 0,6 | В4, В7, В6 | ||||||
| – | – | 0,2 | – | – | – | – | 0,2 | 0,4 | 0,4 | В5, В6, В7 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | 0,5 | – | 0,2 | 0,6 | В5, В7, В2 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | – | – | 0,4 | 0,4 | В6, В7, В3 | ||||||
| – | – | – | 0,4 | 0,2 | 0,1 | – | – | – | 0,8 | – | В2, В3, В4 | |||||
| – | – | – | 0,2 | – | 0,2 | – | – | 0,8 | – | В2, В4, В5 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | 0,4 | – | 0,4 | – | В2, В5, В6 | ||||||
| – | – | – | 0,2 | – | – | – | 0,4 | 0,5 | 0,2 | 0,1 | В2, В6, В7 | |||||
| – | – | – | – | 0,4 | – | 0,5 | – | – | 0,4 | 0,8 | 0,8 | В2, В7, В4 | ||||
| – | – | – | – | – | – | – | В3, В4, В5 | |||||||||
| – | – | 0,2 | – | – | – | 0,5 | – | 1,8 | В3, В5, В6 | |||||||
| – | – | 0,2 | – | – | – | – | 1,8 | В3, В6, В7 | ||||||||
| – | – | – | 0,1 | – | – | – | 0,5 | – | 0,4 | В3, В7, В5 | ||||||
| – | – | 0,4 | – | 0,4 | – | – | 1,6 | 1,6 | В4, В5, В2 |
При расчете электрических цепей этим методом выбирают условные положительные направления токов, эдс и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).
Для получения независимых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу взаимно независимых контуров.
Задача № 3
РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 2.1), используя данные, приведенные в табл. 2.1, определить токи 
… 
в ветвях резисторов … методом контурных токов, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. Эдс и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 2.1. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Ход решения задачи
Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа.
Указанная процедура достигается за счет введения обобщенных переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.
Порядок расчета рассмотрим на примере схемы (рис. 3.1).
Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа:
m – (n – 1) = 6 – (4 – 1) = 3,
где n – число узлов; m – число ветвей.
Число уравнений равно числу неизвестных контурных токов. В нашем случае – три уравнения. Обозначим контурные токи 
, 
и 
.
Выбираем направление контурных токов, совпадающих с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что во второй, четвертой и пятой ветвях текут по два контурных тока.
Рис. 3.1. Расчетная схема
сложной электрической цепи
Составляем систему из трех уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтем падение напряжения на резисторных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему.
Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе – второму и т. д.
В результате система имеет вид
После решения этой системы уравнений действительные токи ветвей определяются по найденным контурным токам:
; 
; 
; 
; 
; 
.
Отметим, что при определении токов 
, 
и 
учитывалось, что контурный ток, совпадающий с током в ветви, берется со знаком «+», не совпадающий – со знаком «–». При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.
Задача № 4
РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА,
СОДЕРЖАЩЕЙ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ,
ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ
Катушка с активным сопротивлением и индуктивностью L соединена последовательно с конденсатором емкостью C и подключена к источнику переменного тока с частотой f и амплитудным значением напряжения 
(табл. 5.1). Определить действующее значение тока, полное сопротивление цепи, полную, активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму токов и напряжений, треугольник сопротивлений и мощностей. Определить частоту тока при резонансе напряжений.
Таблица 5.1
Исходные данные к задаче № 5
| Вариант |  , Ом
|  , мГн
|  , мГн
|  , мкФ
|  , мкФ
| , В
| f, Гц |
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| 0,4 | – | ||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| 2,5 | 2,5 | – | |||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | 0,5 | ||||||
| – | |||||||
| – | 1,5 | ||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | 0,5 | ||||||
| – | |||||||
| – |
Ход решения задачи
Переменным током называется электрический ток, изменяющийся с течением времени. Значение электрического тока (эдс, напряжения) в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением тока (эдс, напряжения), а наибольшее (максимальное) значение периодических токов – амплитудой.
В цепи переменного тока, обладающей только активным сопротивлением, ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. они одновременно проходят через свои нулевые и максимальные значения. Угол 
. Действующее значение тока I определяется отношением действующего напряжения U к сопротивлению цепи R: 
. Мощность цепи 
.
Расчет цепи ведется так же, как и при постоянном токе.
Всякий потребитель, обладающий индуктивностью, вызывает в цепи переменного тока сдвиг фаз между напряжением и током, причем напряжение опережает ток. Сдвиг фаз между напряжением и током равен 90º.
Сопротивление току, обусловленное действием индуктивности, называется индуктивным, или реактивным, сопротивлением. Обозначается индуктивное сопротивление через 
и измеряется в омах (Ом). Величина его определяется по формуле
,
где – индуктивное сопротивление; Ом; L – индуктивность, Гн; 
– угловая частота, 
; f – частота питающей сети, Гц.
Падение напряжения в индуктивном сопротивлении называется индуктивным падением напряжения и обозначается 
: 
.
Из этой формулы следует, что ток 
.
Переменный ток в цепи с емкостью при отсутствии активного сопротивления и индуктивности опережает напряжение на четверть периода, т. е. сдвинут по фазе в сторону опережения на угол 90°.
Емкостное сопротивление определяется по формуле
,
где 
– емкостное сопротивление, Ом; С – емкость, мкФ.
Напряжение на емкостном сопротивлении называется емкостным падением напряжения и обозначается 
: 
.
Из этой формулы следует, что ток 
.
Полное сопротивление цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости,
,
где Х – общее реактивное сопротивление, Ом; R – активное сопротивление, Ом.
Действующее значение тока определяется по формуле
,
где – амплитудное значение напряжения на входе цепи, В.
Для построения векторной диаграммы цепи переменного тока, состоящей из активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 5.1), надо отложить вектор активного падения напряжения 
по направлению вектора тока I (рис. 5.2). Вектор индуктивного падения напряжения строится под углом 90° к вектору I в сторону опережения, а вектор емкостного падения напряжения строится также под углом 90° к вектору I, но в сторону отставания.
Чтобы получить вектор полного напряжения цепи, надо сложить векторы 
, и . Угол 
– угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи.
| 
|
| Рис. 5.1. Последовательная цепь переменного тока, состоящая из активного сопротивления, индуктивности и емкости | Рис. 5.2. Векторная диаграмма цепи, изображенной на рис. 5.1 |
Угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи определяется по формулам:
, 
.
При анализе электрических цепей переменного тока используют треугольник сопротивлений (рис. 5.3), который можно получить из треугольника напряжений, и треугольник мощностей (рис. 5.4), который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока.
| 
|
| Рис. 5.3. Треугольник сопротивлений | Рис. 5.4. Треугольник мощностей |
В случае равенства индуктивного и емкостного сопротивлений реактивное сопротивление будет равно нулю, а полное сопротивление Z будет равно активному сопротивлению R. Сдвиг фаз между током и напряжением цепи будет равен нулю ( 
) и ток в цепи .
Этот случай получил название резонанса напряжений. При этом влияние индуктивности и емкости полностью компенсируется, и цепь ведет себя так, как будто она состоит только из активного сопротивления.
При постоянных значениях L и C резонансная частота питающей сети
.
Активная мощность цепи вычисляется по формуле 
.
Реактивная мощность цепи может быть определена через реактивные сопротивления:
.
Полная мощность цепи вычисляется по формуле
.
Единицы мощности для 
называются по-разному: для 
– ватт (Вт), для 
– вольт-ампер реактивный (вар), для 
– вольт-ампер (ВА).
Задача № 5
РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПРИ СОЕДИНЕНИИ НАГРУЗКИ по схеме «ЗВЕЗДА»
Три потребителя электроэнергии, имеющие одинаковые полные сопротивления фаз 
, соединены по схеме «звезда» и включены в четырехпроводную трехфазную сеть с системой симметричных линейных напряжений 
. Определить токи 
по фазам и в нейтральном проводе 
, а также мощность P трехфазной цепи с учетом данных, приведенных в табл. 6.1 для каждого варианта задания. Составить электрическую систему питания. Построить векторную диаграмму напряжений и токов с учетом характера их нагрузки.
Дополнительное задание
Пояснить, в каких случаях используются трех- и четырехпроводные трехфазные электрические цепи.
Объяснить назначение нейтрального провода в четырехпроводных трехфазных электрических цепях.
Дать разъяснение, почему в нейтральные провода не устанавливают предохранители и выключатели.
Исходные данные к задаче № 6
| Вариант | Величины | |||||||
| , В
| , Ом
| Фаза А | Фаза B | Фаза С | ||||
| характер нагрузки | 
| характер нагрузки | 
| характер нагрузки | |||
| R | 0,866 | R, 
| 0,866 | R, 
| ||||
|
| R |
| ||||||
| 12,7 | R |
|
| |||||
|
| R |
| ||||||
| R |
|
| ||||||
|
|
| R | ||||||
| 0,5 | R,
| 0,5 | R,
| 0,5 | R,
| |||
| 0,866 | R,
| 0,866 | R,
| R | ||||
| R |
|
| ||||||
| R |
|
| ||||||
|
| R |
| ||||||
| 0,5 | R,
| R | R | |||||
| R |
|
| ||||||
|
| R |
| ||||||
| 0,705 | R,
| 0,705 | R,
| R | ||||
| R |
|
| ||||||
| R |
|
| ||||||
| R | 0,5 | R,
| 0,5 | R,
| ||||
| 12,7 |
| R | R | |||||
| 12,7 | 0,705 | R,
| 0,705 | R,
| 0,705 | R,
| ||
|
|
| R | ||||||
| R | R | 0,5 | R,
| |||||
| 0,866 | R,
| R | 0,866 | R,
| ||||
|
|
| R | ||||||
|
|
| R |
Ход решения задачи
Трехфазная система питания электрических цепей представляет собой совокупность трех синусоидальных эдс или напряжений, одинаковых по частоте и амплитудному значению, сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 
, т. е. на 120°.
При соединении фаз трехфазного источника питания или потребителя электроэнергии по схеме «звезда» напряжения 
, 
, 
, действующие между началами и концами фаз потребителя, называются фазными напряжениями. Напряжения 
, 
, 
, действующие между началами фаз потребителя, являются линейными напряжениями.
Линейные токи 
в питающих линиях ( 
, 
, 
) при соединении трехфазного источника питания и трехфазного потребителя электроэнергии по схеме «звезда» одновременно являются и фазными токами 
, протекающими по фазам потребителя ( , , ).
Линейные напряжения при соединении трехфазного источника питания и трехфазного потребителя электроэнергии по схеме «звезда» отличаются от фазных в 
раз:
.
Расчет токов проводят с применением символического метода на основе закона Ома, предварительно выразив фазные напряжения и сопротивления каждой фазы приемника в виде комплексного числа, в котором действительной частью является активное сопротивление, а мнимой частью – реактивное сопротивление:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
,
где 
– фазные напряжения потребителей, В; 
, – модуль и фаза сопротивления нагрузки.
Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответствие с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n:
.
Комплексный ток в нейтральном проводе можно найти из векторной диаграммы, сложив векторы фазных токов, как показано на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Векторная диаграмма токов и напряжений
Трехфазная четырехпроводная система обеспечивает потребителя электроэнергии симметричным питанием. При этом активная, реактивная и полная мощности могут быть определены по следующим формулам с учетом знака реактивных сопротивлений:
;
;
,
где P, Q, S – активная, реактивная и полная мощности соответственно;
R, X – активное и реактивное сопротивления каждой фазы.
Задача № 6
РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Сколько витков надо намотать на сердечник (рис. 8.1) для получения магнитного потока Ф при токе обмотки I? Верхняя и нижняя часть сердечника выполнены из материала согласно задания (табл. 8.1). Толщина сердечника равна 10 см. Составить эквивалентную электрическую схему рассматриваемой магнитной цепи.
Таблица 8.1
Исходные данные к задаче № 8
| Вари-ант | Ф, Вб | I, А |  , мм
|  , см
| Верхняя часть сердечника,  , м
| Нижняя часть сердечника,  , м
|
| 0,18 | ||||||
| 0,12 | ||||||
| 0,22 | ||||||
| 0,24 | ||||||
| 0,36 | ||||||
| 0,42 | 2,5 | |||||
| 0,30 | 2,5 | |||||
| 0,42 | 2,5 | |||||
| 0,18 | 2,5 | |||||
| 0,26 | ||||||
| 0,16 | ||||||
| 0,42 | ||||||
| 0,38 | ||||||
| 0,22 | 2,5 | |||||
| 0,10 | 2,5 | |||||
| 0,42 | 2,5 | |||||
| 0,40 | 2,5 | |||||
| 0,38 | 2,5 | |||||
| 0,14 | ||||||
| 0,28 | ||||||
| 0,26 | ||||||
| 0,32 | ||||||
| 0,30 | 2,5 | |||||
| 0,18 | 2,5 | |||||
| 0,24 | 2,5 |
Ход решения задачи
Магнитная цепь представляет собой систему последовательно включенных ферромагнитных и других физических тел, по которым замыкается магнитный поток.
Рис. 9.1. Сердечник магнитной цепи
Простейшая магнитная цепь с регулируемым магнитным потоком состоит из магнитопровода с поперечным сечением , на котором равномерно размещена обмотка с числом витков 
проводника с током I, под действием которого создается однородное магнитное поле с напряженностью (при средней длине линии магнитопровода 
), равной 
.
В процессе расчета магнитной цепи с поперечным сечением ее участков по заданному магнитному потоку Ф определяют значения магнитных индукций на соответствующих участках. Если поперечные сечения участков магнитной цепи равны, то магнитные индукции участков равны и определяются по формуле
.
По кривой намагничивания B(H) (рис. 9.2) соответствующего ферромагнитного материала магнитопровода и значениям магнитной индукции B определяют напряженности H магнитных полей на участках магнитной цепи. Затем находят магнитные напряжения 
на участках магнитной цепи и магнитодвижущую силу 
При наличии воздушного зазора напряженность магнитного поля в зазоре