Свойства медианы треугольника




Примеры ключевых задач по геометрии при подготовке к ОГЭ

Свойства хорд и дуг окружности

· Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

· Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

· Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

· Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

· У равных дуг равны и хорды.

· Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Свойства касательной к окружности

· Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

 

· Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

 

 

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

· Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

· Если из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

 

· Если из точки, взятой вне окружности, проведены к окружности секущие, то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть число постоянное для всех этих секущих

 

Угол между хордой и касательной

Угол, образованный хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Свойства вписанного угла окружности.

· Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

· Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

· Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр) – прямой.

· Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

· Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от хорды.

Свойства биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

 

Свойства биссектрисы параллелограмма

· Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

· Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны

Свойства прямоугольного треугольника

· В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

· Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

· Если в треугольнике медиана равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

· В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности вычисляется по формуле , где a, b – катеты, c –гипотенуза прямоугольного треугольника АВС.

Свойства медианы треугольника

· В треугольнике медианы пересекаются в одной точки и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

· Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а три медианы – на шесть равновеликих треугольников.

· Если О – точка пересечения медиан треугольника АВС, то S(ABC) = 3S(AOB) = 3S(AOC) = 3S(BOC).

Свойства элементов трапеции

Во всякой трапеции:

• Середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований

• Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой

• Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в отношении OX:OY=BC:AD

• Биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник

• Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны и точка их пересечения лежит на средней линии трапеции

 

В описанной около окружности трапеции:

• Сумма оснований равна сумме боковых сторон

• Полусумма боковых сторон равна средней линии

• Если трапеция равнобедренная, то ее боковая сторона равна средней линии, высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований

• Отрезки, соединяющие центр окружности, вписанной в трапецию, с вершинами трапеции, попарно перпендикулярны

• Диаметр вписанной в трапецию окружности является высотой трапеции

• Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме, т.е. равен средней линии трапеции.

1) S(ABC)=S(DBC)

2) S(ABD)=S(ACD)

3) S(ABO)=S(COD)

• Средняя линия и высота равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равны.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-07-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: