Формирование математической модели.

На этом этапе формируются математические соотношения, необходимые для определения характеристик системы, базируясь на учитываемых явлениях, используемых законах и принятых допущениях. Математическая модель должна быть “корректной”, т.е. приводить хотя бы к одному правильному решению. В частности, для задачи всплытия лодки следует написать уравнения для траектории и времени всплытия согласно принятой физической схеме. Учитывая, что ускорение и сила S = F – P, на основе второго закона Ньютона можно записать:

(1.6)

Отсюда:

(1.7)

А для горизонтальной составляющей имеем:

(1.8)

Сила сопротивления отсутствует, поэтому в правых частях уравнений (1.7, 1.8) нет дополнительных слагаемых. В этой задаче можно принять, что начальными условиями являются (при t = 0): X₀ = 0, Y₀ = 0 и u₀ = 0. Интегрирование необходимо проводить до значения Y_f = H. Соответствующее значение t = t_f является временем всплытия.

Разработка алгоритма.

На этом этапе математическая модель представляется в форме, позволяющей получить решение задачи. В абсолютном большинстве случаев для решения используются численные методы, т.к. современные математические модели являются сложными и аналитическую форму их решения невозможно получить. Но в нашем простом примере легко выводится именно аналитическое решение. Интегрируя дважды уравнение (1.7) получим:

(1.9)

Учитывая начальные условия Y₀ = 0 и u₀ = 0, имеем С₁ = С₂ = 0, тогда:

(1.10)

Аналогично для X(t) получим:

(1.11)

Учитывая, что:

(1.12)

получим:

(1.13)

Траектория – это зависимость Y = f(X), получаемая исключением времени из формул (1.12, 1.13). Тогда:

(1.14)

При расчете траектории необходимо задать шаг, который определим по формуле: .

Создание программы расчета.

В современном математическом моделировании с весьма значительным объемом расчетов применяется ЭВМ, которая “не понимает” математических символов, а “понимает” только программы на языках программирования. Поэтому алгоритм, сформированный на предыдущем этапе, необходимо перевести на какой-нибудь язык программирования и только после этого возможно выполнение расчетов на ЭВМ. Алгоритм, переведенный на язык программирования, называется программой, в которой кроме вычислительных операций необходимо задать форму представления результатов.

Примем, что в нашем примере будет использован язык программирования ФОРТРАН, а результаты ()предстанут в числовой форме. Тогда программа расчета всплытия лодки можно записать в следующем виде:

PROGRAM MAIN

Dimension y(101), x(101)

C H – глубина начала всплытия (м)

С T – текущее время (с)

С TF – время всплытия

С RL - средняя плотность подлодки (кг/м³)

С RВ - плотность воды (кг/м³)

С W0 - горизонтальная скорость подлодки (м/с)

С XF - расстояние всплытия по горизонтали (м)

C DX - шаг траектории – ΔX (м)

G = 9.82

read(*,*) H, RL, RВ, W0

write(*,*)H, RL, RВ, W0

TF = SQRT(2*RL*H/(G*(RВ-RL)))

XF = W0*TF

B = G*(RВ-RL)/(2*RL*W0*W0)

DX = 0.01*XF

DO I=1,101

X(I)= (I-1)*DX

Y(I) = B*X(I)*X(I)

END DO

write(*,*) XF, TF, DX

write(*,*) (X(I), Y(I), I=1,101)

STOP

END PROGRAM MAIN