Указание. При решении некоторых задач могут оказаться полезными
равенства
и 
, 
.
21.Производится 4 выстрела по мишени, вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найти закон распределения числа попаданий, интегральную функцию и ее график.
| Ответ: | Х | |||||
| Р(Х) | 0,2401 | 0,4116 | 0,2646 | 0,0756 | 0,0081 |
22.Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью может быть равен любому целому числу граммов от 1 до 10, определить, при каких из трех систем разновесов: 1) 1, 2, 2, 5, 10; 2) 1, 2, 3, 4, 10; 3) 1, 1, 2, 5, 10 – среднее число необходимых для взвешивания гирь будет наименьшим. Подбор гирь при взвешивании осуществляется так, чтобы использовать наименьшее возможное число гирь.
Ответ: при 2ой системе.
23.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут 3 элемента.
Ответ: 0,18.
24.Опыт производится с помощью серии одинаковых приборов, которые включаются один за другим через 5 с. Время срабатывания прибора 16 с. Опыт прекращается сразу же после того, как сработает, хотя бы, один прибор. Найти среднее количество включенных приборов до прекращения опыта, если вероятность включения прибора 0,5.
Ответ: 5.
25.На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения и многоугольник распределения числа светофоров до первой остановки.
| Ответ: | Х | |||||
| Р(Х) | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 | 0,0625 |
Ответ: 4,55.
26. Средняя обрывность в прядильном цехе составляет 150 обрывов на 1000 веретен в час. Найти вероятность того, что на одном веретене не произойдет ни одного обрыва, произойдет один, два, три обрыва, более трех обрывов за смену (длительность смены 7 ч.).
Ответ:
З А Д А Н И Е 6
Непрерывные случайные величины
Контрольные вопросы
1. Какая случайная величина называется непрерывной?
2. Что называется функцией распределения?
3. Что называется плотностью вероятности?
4. Какова связь между функцией распределения и плотностью вероятности?
5. Приведите формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.
27.Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале ]0;a[. Написать выражение плотности распределения. Найти интервальный закон распределения. Найти вероятность того, что значение случайной величины оказалось из интервала 
. Найти числовые характеристики случайной величины.
0 a x
Ответ: 
,
28. Азимутальный лимб имеет цену деления 10. Какова вероятность того, что при считывании азимутального угла ошибка будет в пределах ±10¢, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?
Ответ 0,333.
29. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если плотность определена функцией
Ответ: 
30. Случайная величина Х подчинена закону Лапласа 
Найти коэффициент 
, интегральную функцию, математическое ожидание и дисперсию.
Ответ: 
З А Д А Н И Е 7
Нормальный закон распределения
и системы случайных величин
Контрольные вопросы
1. Что такое нормальный закон распределения?
2. Чем вызван почти универсальный характер нормального закона распределения?
3. Что такое коэффициент корреляции? Что он характеризует?
4. Какова связь между некоррелированностью и независимостью?
31. Случайная величина Х распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия, соответственно, равны –1 и 0,25. Определить Р (10<X<20).
Ответ: 0.
32. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектируемая длина детали 50 мм. Фактическая длина деталей находится в пределах от 32 до 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
Ответ: а) 0,0823; б) 0.0027.
33. Случайная величина Х распределена нормально с средним квадратичным отклонением σ=5 мм. Найти длину интервала, в которой с вероятностью 0,9973 попадает Х в результате опыта.
Ответ: 30 мм.
34. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста длиной 30 м и шириной 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y – расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы – независимы и распределены нормально с математическими ожиданиями, равными нулю, и средними квадратичными отклонениями, равными соответственно 6 м и 4 м. Найти вероятность попадания в мост одной бомбы и хотя бы одного попадания при двух сброшенных бомбах.
Ответ: 0,6741; 0,8938.
35. Дана система случайных величин
| Y | X | ||||
| 0,02 | 0,03 | 0,03 | 0,01 | 0,01 | |
| 0,06 | 0,09 | 0,09 | 0,03 | 0,03 | |
| 0,08 | 0,12 | 0,12 | 0,04 | 0,04 | |
| 0,04 | 0,06 | 0,06 | 0,02 | 0,02 |
Найти математические ожидания, условные математические ожидания и коэффициент корреляции. Если коэффициент корреляции равен нулю, проверит независимость.
Ответ: M(x)=13, M(y)=18.5, r =0