ДУ высших порядков
| Вид ДУ | Метод решения |
1. 
| Последовательное интегрирование:
 ,  .
|
2. 
|  , 
|
3. 
|  , 
|
4. 
|  , 
|
5. 
|  , 
|
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 22 1. Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка | Ответ |
| ПП 22 № 1 | Найдите частное решение уравнения  , если при   ,  .
Решение: Если  ,  ,
 ,  – однородное уравнение первого порядка.
Сделаем замену переменной:  ,  ,  ,
уравнение  принимает вид:
 .
 ,
 ,  ,  ,  ,  ,  ,  , откуда  .
Начальные условия , задают интегральную кривую, проходящую через точку  с угловым коэффициентом касательной в этой точке, равным 1.
Вычислим  .
Постоянные найдем из начальных условий: 
Частное решение ДУ:  .
|
|
| ПП 22 № 2 | Найдите общее решение дифференциального уравнения
 .
Решение: Уравнение явно не зависит от у.
Если  ,  ,
 ,
- линейное уравнение для p.
Ищем решение в виде:  .  .
ДУ для  :
 ,
дает одно из нетривиальных частных решений в виде
 .
При этом ДУ для  :
имеет общее решение
 .
 
- уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение исходного дифференциального уравнения:
 .
| 
|
| ПП 22 № 3 | Решите ДУ  .
Решение: Если  ,  ,  ,  .
Это уравнение равносильно совокупности решений 
Решением первого уравнения совокупности  является  .
Решим второе уравнение:
 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,
 ,  ,
 .
Решения ДУ:  ,  .
|  ,
|
| ПП 22 № 4 | Найдите решение задачи Коши
 .
Решение: ДУ явно не зависит от х.
Если  ;  =  =  ;  =  .
ДУ с разделяющимися переменными для  :
 .
Его общий интеграл:
 ,
 .
Из начального условия :
 , т.е.  .
Начальному условию удовлетворяет решение
 .
 и для  получаем уравнение с разделяющимися переменными:
 .
Его общий интеграл:
 .
Из начального условия 
 .
Решение задачи Коши:  .
|
|
| ПП 22 № 5 | Найдите общий интеграл уравнения  .
Решение:  ,  ,  ,  ,
Общий интеграл ДУ:  .
| 
|
| ПП 22 № 6 | Найдите интегральную кривую уравнения  , проходящую через точку  и касающуюся в этой точке прямой  .
Решение:
 ,  ,  ,  ,  ,  .
Начальные условия имеют вид:  а угловой коэффициент прямой  равен  то есть
 . Найдем значения постоянных, соответствующий этим начальным условиям из системы:
 
Интегральная кривая имеет уравнение  .
|  x
|
| ПП 22 № 7 | Найдите общий интеграл уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям  .
Решение:  ,  
- общее решение.
Из условия   .
Из условия  :  .
Частное решение ДУ:  .
| 
|
| ПП 22 № 8 | Найдите общее решение дифференциального уравнения
 .
Решение:
Если   ,то уравнение принимает вид:
Здесь найти решение в виде явной или неявной функции затруднительно, запишем его в параметрическом виде:
| 
|
2. Решение ДУ n -го порядка, допускающих понижение порядка
| Вид ДУ | Метод решения |
1. 
| Последовательное n -кратное интегрирование  ,  ,
 , …,
 .
|
2. 
|  ,  , если последнее уравнение решено,  , то далее следует  - кратное интегрирование.
|
3. 
|  ,
|
4. 
| Понижение порядка на единицу, 
|
| № п/п | Примеры ПП 22 2. Решение ДУ n -го порядка, допускающих понижение порядка | Ответ |
| ПП 22 № 9 | Найдите общий интеграл уравнения 
Решение:
Последовательное интегрирование дает:
 , 
Общее решение ДУ:
 .
| 
|
| ПП 22 №10 | Найдите общий интеграл уравнения  .
Решение:
 
 
 
Общий интеграл ДУ:  .
| 
|
| ПП 22 № 11 | Найдите общий интеграл уравнения  .
Решение:
Если сделать замену переменной  , то  , при условии, что  ,откуда  .
Последовательное интегрирование дает:
 ,
 ,
 .
Если  , то
 - также является решением.
Общее решение имеет вид:
| 
|
| ПП 22 № 12 | Найдите общий интеграл
уравнения  .
Решение:
Если заметить, что исходное ДУ
равносильно результату дифференцирования
 , то  что равносильно
 где 
Отсюда:
  Окончательно:  .
| 
|