Матрицы
Матрицей размера т ´ п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С,..., а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: аij, где i — номер строки, j — номер столбца.
Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. аij=bij,для любых
Задание 1. Выяснить равны ли матрицы А и В:
вывод: | вывод: |
вывод: | вывод: |
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца — матрицей-столбцом (вектором-столбцом).
Задание 2. Из предложенных матриц найти матрицу-строку и матрицу-столбец:
Матрица называется квадратной n -го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно n.
Задание 3. Придумайте и запишите квадратные матрицы:
Квадратная матрица первого порядка | |||
Квадратная матрица второго порядка | |||
Квадратная матрица третьего порядка | |||
Квадратная матрица четвёртого порядка |
Элементы матрицы atj, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы а11 , а22 , …, аnn.
Задание 4. Подчеркните диагональные элементы каждой матрицы:
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Задание 5. Укажите диагональные матрицы:
диагональные матрицы: |
диагональные матрицы: |
Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Задание 6. Укажите треугольные матрицы:
треугольные матрицы: |
треугольные матрицы: |
Если у диагональной матрицы n -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n -ro порядка – Е.
Задание 7. Укажите единичные матрицы:
единичные матрицы: |
единичные матрицы: |
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю – О.
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)1´1=5.
Задание 8. Укажите нулевые матрицы:
нулевые матрицы: |
Действия над матрицами
Умножение матрицы на число: Произведением матрицы А на число l называется матрица В=Аl, элементы которой bij=аijl, для
Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Задание 9. Выполните действия:
Вычислить: | Вынести общий множитель: |
Вычислить: | Вынести общий множитель: |
Вычислить: | Вынести общий множитель: |
Операции сложения и вычитания матриц выполняются только для матриц одинаковых размеров (порядков):
Сложение матриц: Суммой двух матриц А и В одинакового размера т ´ п называется матрица С= А+В, элементы которой сij=аij+bij,для (т.е. матрицы складываются поэлементно).
Вычитание матриц: Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+ (-1)· В.
Задание 10. Вычислите сумму и разность матриц (если возможно):
Операция умножения выполняется только для матриц, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Умножение матриц: Произведением матриц Ат ´ k·Вk ´ п называется такая матрица Ст ´ n, каждый элемент которой сij, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.
Задание 11. Вычислите произведение матриц (если возможно):
Транспонирование матрицы: переход от матрицы А к матрице А¢ (А т), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А¢ (А т)называется транспонированной относительно матрицы А.
Задание 12. Найти матрицы, транспонированные данным:
Деление матриц: Деление матрицы А на матрицу В определяется следующим образом через умножение: А: В = А · В -1, где В -1 – обратная матрица для В.
Итак, деление матрицы А на матрицу В возможно при соблюдении вообще говоря двух условий:
1) матрица В -1 – обратная матрица для В должна существовать (В – невырожденная, квадратная n -го порядка);
2) число столбцов матрицы А равно n.
Определители
Определитель — число, характеризующее квадратную матрицу А, обозначается | А | или detA или D.
1) Определителем матрицы первого порядка А =(а), или определителем первого порядка, называется элемент а:
D=| А |=| а |= а.
2) Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое определяется по формуле:
3) Определителем матрицы третьего порядка , или определителем третьего порядка, называется число, которое определяется по формуле:
Для вычисления определителя третьего порядка пользуются правилами треугольника и параллелограмма.
Правило треугольника:
· | · | · | · | · | · | · | · | · | |||
· | · | · | = | + | · | · | · | - | · | · | · |
· | · | · | · | · | · | · | · | · |
Правило параллелограмма:
· | · | · | + | · | · | · | - | 1 строка | |
· | · | · | = | + | · | · | · | - | 2 строка |
· | · | · | + | · | · | · | - | 3 строка | |
· | · | · | 1 строка | ||||||
· | · | · | 2 строка |
Задание 13. Вычислить определители:
Вычислить определитель первого порядка: | ||
Вычислить определитель второго порядка: | ||
Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника: | ||
Вычислить определитель третьего порядка по правилу параллелограмма: | ||
Минором Мij элемента aij матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j-ro столбца.
Каждая матрица n -го порядка имеет п2 миноров (n -1)-го порядка.
Задание 14. Вычислить все миноры заданной матрицы:
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы п -го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1) i + j:
Аij =(-1) i + j · Мij
Задание 15. Вычислить все алгебраические дополнения заданной матрицы:
Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
- разложение по элементам i -й строки;
- разложение по элементам j -го столбца.
Вычислите определитель:
Вычислим определитель четвёртого порядка путём его разложения по элементам, например, первого столбца, для чего методом Гаусса приведём его к следующему виду:
Где определитель третьего порядка вычислен по формуле:
Итак, получили:
Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
А·А-1=А-1·А=Е.
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.
Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для существования матрицы А-1 необходимым и достаточным условием является требование | А |¹0.
Ищем А -1 – обратную матрицу для А (если она существует) по формуле:
Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
Систему линейных алгебраических уравнений решить тремя способами:
1. методом Гаусса;
2. по формулам Крамера;