ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основная задача расчета термоэлектрогенератора состоит в опре­делении его выходных электрических параметров и в нахождении тем­пературных полей во всех его элементах для стационарного режима работы. При этом основными исходными данными являются термоэлек­трические свойства применяемого полупроводникового материала и тем­пературные ограничения, относящиеся к полупроводниковому термо­электрическому материалу или к отдельным конструктивным деталям термоэлектрогенератора. Иногда эти ограничения накладываются и на элементы источника тепла.

В зависимости от того, готова ли (спроектирована) конструкция термоэлектрогенератора или предстоит ее только спроектировать, ос­новная задача расчета распадается на две взаимопротивоположные задачи: либо по заданной геометрии конструкции и подводимому к термоэлектрогенератору потоку тепла- определить его температурный режим и выходные электрические параметры, либо по максимально допустимому температурному режиму определить его геометрию, под­водимое тепло и выходные электрические параметры.

Несмотря на простоту формулировок, решить эти задачи трудно. Более того, окончательные математические зависимости, получаемые при решении каждой из этих задач, формально могут значительно раз­личаться между собой. Это объясняется тем, что решение первой за­дачи связано большей частью с проведением проверочного расчета, термоэлектрогенератора, а решение второй задачи — с оптимизацией и выбором его основных параметров, исходя из тех или иных ограни­чений. Естественно, что эти различия носят лишь формальный харак­тер, и то в окончательных результатах. Исходные основные уравнения для первой и второй задач имеют совершенно одинаковый вид. Это должно следовать из физической сущности самого процесса преобразо­вания энергии.

Основное при расчете термоэлектрогенераторов — изучение распре­деления температур по термоэлектрическому материалу — наиболее важного термодинамического параметра в любых процессах преобра­зования тепловой энергии. В самом общем' случае распределение тем­ператур в преобразователе описывается уравнением теплопроводно­сти [1]

где у — плотность; t — время; — теплоемкость вещества; Т — темпе­ратура; — вектор переноса теплопроводностью. В этом уравнении первое слагаемое представляет собой изменение энтальпии вещества в единичном объеме в единицу времени; второе слагаемое — результи­рующий перенос тепла путем теплопроводности в единичном объеме в единицу времени. Величина обозначает удельную производитель­ность источников тепла в единичном объеме.

В декартовой системе уравнение теплопроводности записывается в вцде

где А — коэффициент теплопроводности термоэлектрического материала.

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные режимы термоэлектрогенератора, когда температурное поле не меняется во вре­мени и d(ycpT)/dt=0. Нестационарные режимы связаны главным обра­зом с процессом нагрева и расхолаживания термоэлектрогенератора, а также с переходом с одного режима работы на другой и т. д. Стацио­нарный режим, при котором термоэлектрогенератор вырабатывает электрическую энергию, описывается уравнением Пуассона

Для решения этого уравнения необходимы соответствующие гра­ничные условия, определяющие тепловое состояние на геометрических границах тела. Они могут быть разнообразными. Обычно различают три рода граничных условий:

1.на поверхности тела поддерживается заданное распределение температур;

2.на границах имеется заданное распределение удельных тепло­вых потоков;

3.поверхность тела окружает среда с заданной температурой й коэффициентом теплоотдачи.

Кроме этих трех классических случаев возможны следующие два важных рода граничных условий:

4/изучаемое тело может подвергаться тепловому воздействию- контактной теплопроводности другого тела;

5.при тепловом воздействии на поверхность тела происходит одно-, временное превращение его массы (изменение состояния), фронт кото­рого перемещается во времени, например в процессах плавления, за­твердевания и т. д.

Все граничные условия с математической точки зрения могут быть записаны в виде функциональной зависимости названных выше величин или в виде дифференциальных уравнений. В последнем случае при рас­чете термоэлектрогенераторов приходится решать уже систему диф­ференциальных уравнений.

Пр ц решении практических вопросов, и в частности расчета термо- генераторов, достаточно пользоваться нестрогими и общими решениями.

Причем последние могут быть настолько громоздкими и неудобными, что для практического их применения невозможно получить всю необ­ходимую информацию. Поэтому сделаем допущения, которые будут влиять на точность количественных решений в приемлемых границах, оговаривая получаемые погрешности.

Во-первых, для описания распределения температур по отдельному термостолбику воспользуемся одномерным приближением. Это означает, что передачами тепла между боковыми поверхностями термостолбиков можно пренебречь. Действительно, если градиенты температур по тер­мостолбикам в продольном направлении составляют до нескольких сот и тысяч град/см, то в поперечном направлении они не превышают нескольких град/см.

Во-вторых, все параллельные ветви находятся в одинаковых темпе­ратурных условиях, т. е. будем пренебрегать паразитными перетечками тока.

Рис. 4.1. Последовательная цепь термоэлементов в термо­электрогенераторе.

Таким образом, можно считать, что изменение температурных усло­вий работы термоэлементов происходит только по длине последователь­ной цепи, например по оси х (рис. 4.1). Направление теплового потока в отдельных термоэлементах параллельно оси у.

В качестве внутренних источников тепла будем учитывать только эффекты Томсона и Джоуля, т. е.

где / — плотность тока; р — удельное сопротивление; т — коэффициент Томсона.

Тогда дифференциальное уравнение, описывающее распределение температур по отдельному термостолбику в стационарном режиме, при­мет вид

Здесь знак «плюс» перед вторым членом соответствует выделению тепла, а знак «минус» — поглощению. В дальнейшем изложении знак минус опускаем. Решение этого уравнения позволяет определить рас­пределение температур и величину теплового потоца в любом сечении по всей длине термоэлемента. Возможное решение приведено в главе 3.

В случае многоэлементного термоэлектрогенератора, состоящего из т последовательно соединенных термоэлемёнтов, формально можно записать систему из т уравнений (4.2.1) и решать ее при граничных условиях на горячих и холодных спаях, заданных в конечных разно­стях. Однако наличие большого количества последовательно соединен­ных термоэлементов и постоянство плотности тока по любым сечениям любого термоэлемента позволяют сделать предельный переход от сис­темы множества уравнений в конечных разностях к системе нескольких дифференциальных уравнений.

В этой системе одним уравнением является дифференциальное уравнение (4.2.1). В общем случае минимальное число остальных урав­нений должно быть не менее двух, описывающих распределение темпе­ратур в зависимости от координаты х по горячим и холодным спаям термоэлектрогенератора или, как их называют, по теплоконтактным поверхностям:

где а, b, с — параметры.

Конкретный вид последних уравнений определяется источником тепла и условиями охлаждения.

Для решения задачи по определению температурного поля в термо­электрогенераторе проинтегрируем уравнение (4.2.1) дважды. После первого интегрирования в пределах от Т_х до Т с учетом произвольной температурной зависимости параметров , т, р имеем

где

Учитывая, что

где — удельный тепловой поток в сечении холодного спая (холодной теплоконтактной поверхности), после второго интегрирования получим

Уравнеия (4.2.2) — (4.2.4) позволяют определить удельные» тепло­вые потоки в любом сечении термоэлементов по оси у. В частности, распределение удельного теплового потока по холодному спаю опре­деляется интегральным выражением

где l — длина (высота) термоэлементов (по оси у), а из уравнения

где Т_г и Т_х — функции координаты х.

Для определения интеграла воспользуемся следующим соотношением:

где и — коэффициенты термо-э. д. с. при температуре Т и Т_х соот­ветственно.

Удельные тепловые потоки, определяемые выражениями (4.2.5) и

, не учитывают выделение и поглощение теплот Пельтье на спаях. Так как в термоэлектрогенераторах теплота Пельтье на горячем спае всегда поглощается, а на холодном спае всегда выделяется, то подво­димые и отводимые от него удельные тепловые потоки будут соответ­ственно равны

В случае наличия тепловыделения в месте коммутации термо элементов

где и — сопротивления коммутации соответственно горячего и холодного спаев, отнесенные к единице площади теплоконтактной поверхности.

Уравнения (4.2.5) — (4.2.9) совместно с граничными условиями, опи­сывающими распределение температур или удельных тепловых потоков по оси х, позволяют определить тепловой режим термоэлектрогенера­тора. В более общем случае для этого требуется совместное решение уравнений (4.2,5) — (4.2.9) с уравнениями, описывающими распределе­ние температур по источнику тепла и холодильнику, при соответствую­щих граничных условиях. Наиболее простые граничные условия полу­чаются, когда заданы распределения температур горячего и холодного спаев термоэлементов (граничное условие первого рода):

Очень часто встречаются граничные условия второго рода, особенно для энергетических установок, где применяются ядерные реакторы. В этих установках задается распределение тепловыделения по тепло­контактной поверхности, т. е. распределение удельного потока по ис­точнику тепла вдоль оси х:

К этому условию обычно добавляется требование, чтобы максимум распределения температуры по горячему спаю термоэлектрогенератора не превосходил допустимой величины. Это требование, естественно, должно соблюдаться во всех случаях, при любых граничных условиях.

Граничные условия могут быть и нелинейными, например, для космических установок с теплоотводом за счет лучистого теплообмена, который подчиняется закону Стефана—Больцмана:

где — коэффициент черноты; — постоянная Стефана—Больцмана.

Часто нагрев и охлаждение термоэлектрогенератора осущест­вляется с помощью применения контуров теплоносителей. В этом слу­чае процесс нагрева и охлаждения описывается дифференциальными уравнениями:

где G_T, с_т, Т г.т и G_x> c_Xf Т _хл— соответственно расход, удельная тепло­емкость, температура горячего и холодного теплоносителей; Н — ши­рина термоэлектрогенератора по тракту теплоносителя.

Практически всегда с горячими и холодными спаями термоэлемен­тов в непосредственном контакте находятся конструктивные элементы. В этом случае имеем граничные условия третьего рода.

В общем случае граничные условия столь разнообразны, что совер­шенно невозможно дать точный математический анализ работы термо- электрогенератора в общем виде. Все это усложняется тем обстоятель­ством, что даже уравнение (4.2.1) нельзя решить ни в аналитическом виде, ни в квадратурах.