Теоретическое введение. Добротность контура

Теоретическое введение

 

Наличие в R-L-C контуре переменной Э.Д.С. или внешнего напряжения приведет к возникновению вынужденных колебаний.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора, катушки и резистора. Если включить в эту цепь последовательно с элементами цепи переменную ЭДС (переменное напряжение U = U₀ cos wt от генератора Г) (Рис.14.1), то в такой цепи при частоте внешней ЭДС, близкой к частоте w собственных колебаний цепи, возникает резонанс напряжений - напряжение на емкости U_C и напряжение на индуктивности U_L равны по величине и противоположны по фазе.

Рис. 14.1

 

На рис.14.1 в контур подается переменное напряжение U = U₀ cos wt от генератора Г.

Из закона Ома

I R = -q/c – L dI/dt + U₀ coswt, (14.1)

учитывая, что I = , и разделив на L, получим:

d²q/dt² + 2bdq/dt + w₀²q = coswt. (14.2)

При этом w₀² и 2b имеют тот же смысл, что и для затухающих колебаний (cм. лаб. раб. №13). Используя сведения о вынужденных колебаниях и метод векторных диаграмм, изложенные выше, имеем:

q = q₀ соs(wt - j), (14.3)

где амплитудное значение заряда и сдвиг фаз между колебаниями заряда в контуре и колебаниями внешнего напряжения равны (см. Введение и рис.5а,б):

q₀ = (U₀ /L) / (, (14.4)

tgj = (2bw) / (w₀²- w²). (14.5)

Подставив в ур.(14.4) и (14.5) значения w₀² и b, выразим q₀ и tgj через параметры R, L, C:

, (14.6)

. (14.7)

Продифференцировав (14.3) по времени, для силы тока имеем:

I = I₀ cos (wt - j + p/2) (14.8)

Из ур-ний (14.3) и (14.8) видно, что сдвиг фаз между приложенным внешним напряжением и напряжением на конденсаторе U_C= , т.е. j, а также между U и током (j^* = j - p/2) зависят от соотношения между величинами wL и 1/wC. Запишем tgj^* в виде

. (14.9)

Таким образом, получаем: j^* > 0, т.е. ток отстает по фазе от внешнего напряжения U, если wL>1/wC, и опережает напряжение j^*<0, если wL<1/wC. При этом амплитудное значение силы тока

I₀ = wq₀ = (14.10)

Перегруппировав члены в ур.(14.1), запишем его как

U_R + U_C + U_L = U₀ coswt. (14.11)

Ур.(14.11) отражает тот факт, что в любой момент времени сумма напряжений на отдельных элементах цепи равна внешнему напряжению U₀coswt. В соответствии с предыдущим:

U_R = R I₀ cos (wt - j^*), (14.12)

U_C = (q₀/C) cos (wt - j) = U_C0 cos (wt - j) = U_C0 cos (wt - j^* - p/2), (14.13)

где

U_C0 = q ₀/C = , (14.14)

U_L = L dI/dt = -w L I₀ sin (wt- j^*) = U_L0 cos (wt - j^* + p/2), (14.15)

U_L0 = w L I_o. (14.16)

Сопоставление формул (14.8) и (14.12)-(14.15) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на p/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на p/2. Т.о. в такой цепи при частоте внешней ЭДС, равной частоте w₀, напряжение на емкости U_C и напряжение на индуктивности U_L равны по величине и противоположны по фазе, т.е. возникает резонанс напряжений.

Напряжение на активном сопротивлении по фазе совпадает с током.

С учетом фазовых соотношений построим фазовую диаграмму для ур.(14.11) – рис.14.2.

Рис. 14.2.

 

Из прямоугольного треугольника (рис.14.2) имеем

= (wL – 1/wC)² I₀² + I₀² R². (14.17)

Откуда

I₀= (14.18)

Это выражение совпадает с ур.(14.10), полученным выше.

Выражение в знаменателе является модулем полного сопротивления цепи. Полное сопротивление цепи Z называется импедансом

|Z| = .

Резонансная частота колебаний для заряда q и напряжения U_C равна

. (14.19)

Рис. 14.3а, б

Резонансные кривые для U_C и q (рис.14.3а) сходны с подобными кривыми для механических колебаний (Введение, рис.6). Отрезок, отсекаемый на оси ординат, соответствует напряжению на конденсаторе после подключения его к источнику постоянного напряжения.

Резонансные кривые для силы тока представлены на рис.14.3б для b₂>b₁.

Максимальное значение силы тока в отличие от (14.19) всегда (при любом R) соответствует частоте

w₀ = 1/ . (14.20)

Это с очевидностью вытекает из ур.(14.10)

Так как I₀ = I_0max при (wL – 1/wC) = 0, то w_р = 1/ .

Величина активного сопротивления R (т.е. затухание) здесь не влияет на значение резонансной частоты, но, как и в других случаях (например, для заряда), определяет величину резонансной амплитуды: из ур-ний (14.10) и (14.18) видно, что I_0Р = U₀/R. Обратите внимание, что резонансные кривые выходят из начала координат – в цепи постоянного тока (w = 0), содержащей конденсатор, ток отсутствует.

 

Добротность контура

Если затухание мало (w₀² >> b²), то резонансную частоту для напряжения на конденсаторе можно положить равной частоте резонанса для силы тока w₀ (см. ур.(14.19)), в этом случае w_qp² – 1/LC » 0. Из ур.(14.13) и (14.14) следует, что при этом условии отношение резонансного напряжения на конденсаторе U_C0p к амплитуде внешнего напряжения U₀ будет равно (см. ур-е (13.13)):

U_C0Р /U₀=1/w₀CR= /CR=1/R× =Q. (14.21)

Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе U_C может превышать U₀, т.е. внешнее приложенное к контуру напряжение.

Вместе с тем, поскольку I_0Р = U₀ /R (см. ур.(14.18)), U_0Р = I₀R. Амплитудное значение напряжения на индуктивности U_L0 = I₀ L w (см. ур.(14.16)). В итоге, при слабом затухании (w₀² >>b²), когда резонансные частоты для заряда (т.е. U_C) и силы тока равны собственной частоте L-C контура, имеем:

U_C0Р / U_R0 = U_L0Р / U_R0 = Q. (14.22)

Согласно (14.22), добротность показывает, во сколько раз при резонансе напряжений амплитуда напряжения на емкости (или индуктивности) превышает величину амплитуды напряжения на активном сопротивлении. Можно также показать, что добротность определяет ширину резонансной кривой Dw, а именно:

Dw/w_Р = 1/Q. (14.23)

Под шириной резонансной кривой (рис.14.3) понимают интервал частот Dw, соответствующий мощности тока (P ~ I²) вдвое меньшей, чем при резонансе. Следовательно, для токов это отношение I₀ /I_0Р @ 0,7.

Описание лабораторной установки

Схема экспериментальной установки приведена на рис.14.4.

Рис 14.4.

 

На вход 1-2 цепи от генератора синусоидальных сигналов подается напряжение с регулируемой амплитудой и частотой. Эффективные значения силы тока и напряжения в R, C, L цепи измеряются с помощью цифровых приборов.

Перед выполнением работы необходимо ознакомиться с краткими инструкциями по эксплуатации всех используемых приборов.

 

Выполнение работы

1) Собрать схему рис.14.4, на которой указаны генератор Г, амперметр (цифровой измерительный прибор (В7-21А) включенный в цепь последовательно для измерения силы тока), вольтметр (ВР-11), индуктивность L с активным сопротивлением R_L , конденсатор С. Следует обратить внимание на то, чтобы «нулевые» клеммы приборов были соединены вместе.

Включить питание приборов. Установить выходное напряжение генератора U=1-5B. Точно найти частоту резонанса n_I1 для силы тока по максимуму значения силы тока I_max.

Снять зависимость I(n) при постоянном напряжении U в диапазоне частот n_I от 300 до 800 Гц, изменяя частоту через 50 Гц. Полученные данные записать в таблицу измерений. Построить график зависимости n). По данным измерений вычислить R (см. 14.18), L (см. 14.19) и b (b = R/ L). Рассчитать добротность Q по формуле

.

2) В схеме рис.14.4. вместо С₁ подключить емкость С₂, а затем С₃. Опытным путем найти соответствующие частоты n_I2 и n_I3 в диапазоне (500 ¸ 1200 Гц) резонанса для силы тока и сопоставить со значениями частот, определенными по формуле (14.20).

3) Собрать схему рис.14.5. В отличие от предыдущей схемы, цифровой измерительный прибор (В7-21А) подсоединен параллельно конденсатору для измерения эффективного значения напряжения на конденсаторе U_C.

Рис. 14.5.

Включить питание приборов и установить выходное напряжение генератора U = 1-5 B. Найти частоту резонанса n_U1 по максимальному значению эффективного напряжения конденсатора U_Cmax. Снять зависимость U_С(n) при постоянном U в диапазоне частот 300 ¸ 800 Гц, изменяя частоту через 50 Гц. Полученные данные записать в таблицу измерений.

Построить на том же графике зависимость .

Найти теоретическое значение частоты n_U по формуле (14.19) и сравнить с результатом эксперимента.

4) В схеме рис.14.5 вместо С₁ подключить С₂, а затем С₃ и опытным путем найти соответствующие частоты резонанса для напряжения и заряда конденсатора n_U2 и n_U3 (500 ¸ 1200 Гц).

Полученные экспериментальные значения сравнить с теоретическими - формула (14.19).

 

Контрольные вопросы

1. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение.

2. С помощью метода векторных диаграмм определите амплитуду вынужденных колебаний для заряда q и напряжения на конденсаторе U_C, а также сдвиг фаз между внешним напряжением U и U_C.

3. Запишите уравнение для колебаний тока в контуре. Чему равен сдвиг фаз между током в контуре и напряжениями: а) на конденсаторе – U_C ; б) внешним - U.

4. Запишите уравнение для напряжений в контуре U_R, U_C, U_L. Чему равны амплитудные значения этих величин.

5. Изобразите векторную диаграмму для напряжений U, U_C, U_L и U_R.

6. При каких частотах наблюдается резонанс заряда на конденсаторе и тока в контуре. При каком условии эти резонансные частоты совпадают?

7. Изобразите резонансные кривые для U_C и тока.

8. Как влияет величина добротности на форму резонансных кривых? Чему равно увеличение напряжения на конденсаторе U_C0 при резонансе по сравнению с приложенным?