В этом разделе мы рассмотрим вопросы, связанные с нахождением скоростей точек тела в плоском движении.
2.1-Теорема о сложении скоростей.
Вначале сформулируем теорему, а затем докажем ее.
Скорость любой точки тела в плоском движении равна векторной или геометрической сумме скорости полюса в поступательном движении тела совместно с полюсом и скорости вращения точки вокруг полюса во вращательном движении тела вокруг полюса: (2)
где VB - скорость точки, VA - скорость полюса, VBA - скорость вращения точки вокруг полюса. Причем (3)
где,ω - модуль угловой скорости и величина вектора угловой скорости; AB - расстояние между точкой и полюсом, равное радиусу вращения точки вокруг полюса.
Для доказательства теоремы определим положение точки B тела в неподвижной системе координат радиус-вектором rB (рис. 81). Можно определить положение точки B иначе. Вначале определим положение точки в базовой системе координат радиус-вектором ρ, а затем, положение базовой системы координат в неподвижной системе координат определим радиус-вектором полюса rA.
На рис. 81 мы видим, что rB = rA + ρ. Дифференцируя по времени последнее равенство, получаем (4)
В выражении (4) drB / dt = VB - скорость точки, drA / dt = VA является скоростью полюса или скоростью поступательного движения базовой системы координат и тела совместно с полюсом. Второе слагаемое в (4) определяет скорость движения точки B тела в подвижной базовой системе координат. Угловое движение или вращение тела происходит вокруг оси Az1 тела, совпадающей с осью Az* базовой системы координат. Пусть вращение тела наблюдается против хода часов, когда вектор ω направлен вдоль оси Az1 прямо на нас (рис. 81). Тогда, так как ρ = const, по формуле Эйлера dρ / dt = ω ρ. Вектор ω ρ по величине равен ωρ sin (ω^ρ) = ωρ = ω·AB. Он лежит в плоскости x*Oy*, совпадающей с плоскостью xOy, перпендикулярной оси вращения, и направлен в сторону вращения. То есть в подвижной базовой системе координат этот вектор является скоростью точки B тела, вращающегося вокруг оси Az1, проходящей через полюс A, или просто скоростью вращения точки B вокруг полюса A, которую обозначим VBA, и теорема доказана.
Отметим, что угловая скорость не зависит от выбора полюса, и поэтому при использовании теоремы для решения задач за полюс может быть выбрана любая точка тела, скорость которой известна в неподвижной системе координат.
2.2 -Мгновенный центр скоростей.
Введем понятие мгновенного центра скоростей.
Мгновенным центром скоростей называется точка плоскости движения, скорость которой в данное мгновение времени равна нулю.
Теорема о существовании мгновенного центра скоростей. Сформулируем теорему, а затем ее докажем.
Если тело в плоском движении имеет угловую скорость, то мгновенный центр скоростей существует.
На рис. 82 показано тело в плоском движении, причем известны его угловая скорость и скорость одной его точки VA. От точки A отложим отрезок AP = ω / VA перпендикулярно скорости в сторону вращения тела. Выбрав точку A за полюс, определим скорость точки P. Согласно теореме о сложении скоростей VP = VA + VPA. По величине вектор VPA равен VPA = ω AP = VA, но направлен в сторону, противоположную VA (перпендикулярно AP в сторону вращения). Складывая равные по величине, но направленные в разные стороны векторы VA и VPA (рис. 82), получаем VP = 0, и теорема доказана.
Свойства мгновенного центра скоростей. Для доказательства свойств мгновенного центра скоростей определим скорости двух точек тела A и B (рис. 83), выбирая мгновенный центр скоростей P за полюс.
По теореме о сложении скоростей VA = VP + VAP; VB = VP + VBP, но VP = 0, и (5)
где (6)
Анализируя рис. 83 и выражения (5) и (6) можно сформулировать первое свойство мгновенного центра скоростей.
Первое свойство. Распределение скоростей точек тела в плоском движении в данное мгновение времени точно такое же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, которая проходит через мгновенный центр скоростей и перпендикулярна плоскости движения.
Заметим, что мгновенный центр скоростей перемещается в плоскости движения (если бы он был неподвижен, было бы вращение вокруг неподвижной оси). Траектория, которую он описывает в неподвижной системе координат, называется неподвижной центроидой, а траектория, которую он описывает в подвижной системе координат, называется подвижной центроидой. Отсюда следует второе свойство мгновенного центра скоростей.
Второе свойство. При определении скоростей точек тела плоское движение можно представить как последовательность мгновенных вращений вокруг мгновенного центра скоростей, который сам перемещается в плоскости движения тела.
Нахождение мгновенного центра скоростей. Определение положения мгновенного центра в плоскости движения основано на решении системы двух геометрических уравнений из выражений (6): VAAP; VBBP.
Мгновенный центр скоростей может быть найден, если известны скорость одной точки тела, например A, и линия действия скорости второй точки тела, например, B (рис. 84).
Восстановив перпендикуляры к вектору скорости точки A и к линии действия скорости точки B, находим точку их пересечения P, которая будет единственным решением системы геометрических уравнений и мгновенным центром скоростей.
Зная длины отрезков AP и BP и свойства мгновенного центра скоростей, определим направление вращения и величину угловой скорости тела, а затем найдем величину и направление вектора скорости второй точки тела. Вращение тела происходит туда, куда вектор скорости VA первой точки поворачивает тело вокруг мгновенного центра скоростей (в нашем случае на рис. 84 - по часовой стрелке). Вектор скорости VB второй точки тела перпендикулярен своему радиусу вращения (VBBP) и направлен в сторону вращения тела (на рис. 84 - вдоль линии действия вверх).
Величины угловой скорости тела и скорости второй точки тела вычисляются по первым двум формулам в выражениях (6):
Существуют особые случаи нахождения мгновенного центра скоростей, показанные на рис. 85.
На рис. 85, a показан случай, когда перпендикуляры, восстановленные к скорости одной точки тела и к линии действия скорости второй точки тела, параллельны друг другу. Эти перпендикуляры между собой не пересекаются, поэтому AP = и ω = VA / AP = 0. По теореме о сложении скоростей VB = VA + VBA, где VBA = ω·AB. Но ω = 0, и VB = VA. Видим, что тело находится в мгновенно поступательном движении, когда в данное мгновение времени одинаковы только скорости всех точек. Напомним, что при поступательном движении в любой момент времени одинаковы траектории, скорости и ускорения всех точек тела.
На рис. 85, b показан случай, когда перпендикуляры, восстановленные к скорости одной точки тела и к линии действия скорости второй точки тела, совпадают друг с другом. Так как перпендикуляры совпали, то система геометрических уравнений имеет бесконечное число решений (у линии, на которой лежат перпендикуляры, существует бесконечное число точек). Для нахождения единственного решения нужно знать вектор скорости второй точки тела, а не только его линию действия. Когда вектор VB известен, мгновенный центр скоростей P находится в точке пересечения перпендикуляров с линией, соединяющей концы векторов скоростей VA и VB. Остается определить направление вращения тела и величину угловой скорости, равную ω = VA / AP = VB / BP.
На рис. 85, c показано качение колеса без скольжения по неподвижной поверхности. В этом случае положение мгновенного центра можно найти из физических соображений, используя результаты примера 2 предыдущего раздела. Так как скорости всех точек неподвижной поверхности равны нулю, а при качении без скольжения скорости точек касания тел одинаковы, то в точке касания колеса с неподвижной поверхностью будет находиться мгновенный центр скоростей P колеса.
На том же рисунке жирными точками отмечены последовательные положения мгновенного центра скоростей на колесе и на неподвижной поверхности при качении колеса. Мы видим, что мгновенный центр скоростей перемещается в плоскости движения; неподвижной центроидой является прямая линия; подвижной центроидой является окружность, радиус которой равен радиусу колеса.