Векторы, линейные операции над ними, разложение по базисам. Основные формулы, связанные с декартовыми координатами.
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, мы будем рассматривать свободные векторы т.е. те которые можно переносить параллельно самим себе.
Длиной или нормой вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длину вектора АВ обозначают |АВ|. Вектор длина которого равна 1 называется единичным или ортом. Свободный вектор однозначно определяется своей длиной и направлением.
Векторы, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными.
Векторы называются компланарными, если сущ. Плоскость, которой они параллельны.
Лин. операции над векторами.
Для свободных векторов определены операции сложения, вычитания и умножения их на действительные числа.
Сумма двух векторов А и В называется вектор (А+В), который получается из векторов А и В. Сумма конечного числа n векторов а1,а2,..аn по определению, есть замыкающий вектор ОАn
Вектор (-В) называется противоположный ему вектор В.
Разностью двух векторов А и В называется вектор (А-В), суммой векторов А и –В направлен к концу вектора А.
Произведением вектора А на действительное число Альфа наз. Вектор В=Альфа*А, длина которого |Альфа|*|A|. Совпадает с направлением А, если Альфа>0. Если меньше….наоборот.
Если а не равно 0 то единичный вектор а0 =а/|а| называется ОРТОМ.
Свойства.
1.А+В=В+А 2.(А+В)+С=А+(В+С) 3. А+0=А 4. А+(-А)=0
5. альфа*(Бета*а)=(Альфа*Бета)*А 6.1*А=А 7. (Альфа+Бета) *А=Альфа*А+бета*В
Множество векторов уд свойствам 1-8 наз. линейным или векторным пространством.(R3)
Проекция вектора. Угол между двумя векторами наз. Наименьший угол ФИ(0;пи), на который нужно повернуть один вектор чтобы он совпал по направлению с другим вектором. Проекция вектора а=АВ на ось L называется длина отрезка А1В1, заключённого между ортогональными проекциями начала и конца вектора АВ на эту ось, взятая со знаком минус, если не совпадает. ПР л А=|А|*cos Fi
Направленный отрезок Ал=А1В1 называется ортогональная составляющей вектора АВ по оси Л.
Ортогональная составляющей вектора А=(ПРлА)*10, где 10 – единичный вектор, соответствующий направлению оси Л.(2 свойства)
Лиин зависим векторов. Векторы e1,e2,e3, … en называются линейно зависимыми если сущ такие постоянные числа во Лямда1, Лямда2.. не все одноврем равные нулю, что выполняется равенство
Лямда1*е1+Лямда2*e2…+ЛямдаN*eN=0. => eN=(-Лямда1/ЛямдаN)*e1-…-(ЛямдаN-1/ЛямдаN)*eN-1
eN линейно выражается через комбинацию пред. Векторов.
Если равенство вып только пря ВСЕХ равных лямда Тл векторы линейно-независимые.
Вектор единственным образом разлагается в три некомпланарных вектора.
Любые три компланарных вектора всегда линейно –зависимы.
Любые 4 вектора в простр линейно-зависимы. Коефф (лямда) – координаты вектора в данном базисе.
Базис образует любая тройка некомпланарных векторов.
Декартова сист координ.
r=xi+yj+zk. X,y,z – координ вектора r в базисе I,j,k. Координаты являются проекциями на оси.(теорема). |a|=Корень(x*x*+y*y+z*z) cos(Alfa)=x/|a|, Beta, Gama… cos2A+cos2B+cos2C=1
Расстояние - |АВ|=Корень((х2-х1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2) Конца-начала.
Скалярное произведение векторов, свойства, применение.
Скалярным произведением вект. А и В называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними
Свойства. 1. Скалярное произведение коммутативно. 2. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей. 3 дистрибут. отн сум. (а,в+с)=(а,в)+(а,с) 4. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда когда хотя бы один из вект. нулевой либо они перпендикулярны.
Скалярным квадратом называется скалярное произведение вектора на себя => равен квадрату длины вектора.
Cos(a^b)=(a,b)/|a|*|b| прab=(a,b)/|a|. Длина |a|=Корень(x2+y2+z2)
Скалярное произведение в коорд форме.Коорд орты i,j,k имеют длины, равные единицы i2=j2=k2=1, их взаимное произведение равно 0. (a,b) =ax*bx+ay*by+az*bz. Cos и ПР находятся с пом координат.
3. Определители 2 и 3 порядка. Нахождение вектора, перпен. двум неколлин.
Решим задачу: найти вектор n(x,y,z) ортогональный двум неколин векторам a1=(m1,n1,p1) и
a2=(m2,n2,p2) Из условия ортогональности имеем (a1,n)=0 и (а2,n)=0 (cистема). Решив полчим
что y=z*(m2p1-m1p2)/(m1n2-m2n1) x=z*(n1p2-n2p1)/(m1n2-m2n1) è n(x,y,z). Придавая z произвольные значения получаем беск множество векторов. Если z=m1n2-m2n1 получаем n=(x,y,z)=(n1p2-n2p1,m2p1-m1p2,m1n2-m2n1)
Пусть a1b2-a2b1=|a2a1 b2b1| - определитель второго порядка è правило. Составим таблицу из корд векторов a1 и a2
Вычёркивая поочерёдно столбцы получаем координаты по порядку. 2-ой с минусом.
4. Векторное произведение векторов, свойства, применение.
Пусть в пространстве заданы два ортонормированных базиса е1,е2,е3 и 3 со штрихами. Назовём эти базисы одинаково ориентированными, если их можно совместить при помощи движения. Тройка векторов начала которых совмещены, называется левой, если из конца вектора е3 кратчайший поворот от е1 к е3 виден по часовой стрелке. Если же этот поворот виден против часовой то тройка называется правой.
Векторное произведение. Пусть i,j,k – правый базис пространства R3. Вект. произведением называется дыух векторов а и б называется третий вектор с, удовлетворяющий трём условиям: 1.|c|=|a|*|b|*sinFi,Fi=(a^b) 2.c_|_a и b 3.Векторы образуют правую тройку.Обозн [a,b].
Свойства векторного произведения. 1. Длина вектора [a,b] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и б, приведённых к общему началу. 2.Векторное произведение равно 0 когда векторы коллин. или один из них нулевой. => [a,b]=0 условие коллинеарности. 3.[a,b]=-[b,a](антикоммут) 4 [αa,b]= α[a,b]
[a, βb]= β[a,b] α,β?R.
Следствие. [α a, βb]= α β[a,b] α,β?R.
5. Смешанное произведение, свойства, применение. Двойное векторное произведение.
В пространстве R3каждая тройка некомпланарных векторов a,b,c приложенных к одной точке, определяет некоторый параллелепипед, рёбрами которого являются эти векторы. Припишем объёму этого параллелепипеда знак плюс, если тройка a,b,c правая, и знак минус, если она левая. Такой параллелепипед называется ориентированным.Смешанным произведением трёх векторов называется число (a,b,c)=([a,b],c)
Свойства. 1.Смешанное произведение (a,b,c) равно объёму ориентированного параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу некомпланарных векторах a,b и с.
2.Смешанное произведение равно нулю, если векторы a,b,c компланарны(угол θ =π/2, тогда a,b,c лежат в одной плоскости) (a,b,c)=0 является условие копланарности трёх векторов a,b и c.
3.([a,b],c)=(a,[b,c]) Справедливость условия следует из равенства (a,[b,c])=([b,c],a), так как тройки a,b,c и b,c,a одинаково ориентированы, и из свойства 1. В силу коммутативности скалярного произведения и антикоммутативности векторного из свойства 3 получаем цепочку равенств. (a,b,c)=(c,b,a)=(b,c,a)=-(b,a,c)=-=(c,b,a)=-(a,c,b).
4. Линейность смешанного произведения: (αa1+βa2,b,c)=α(a1,b,c)+β(a2,b,c)
Справедливость этого свойства следует из равенства и линейности скалярного произведения.
Координатная форма. По определению [i,i]=[j,j]=[k,k]=0 [i,j]=k,[j,k]=i,[k,i]=j [j,i]=-k,[k,j]=-i,[i,k]=-j
[a,b]=(y1z2-y2z1)i+(z1x2-z2x1)j+(x1y2-x2y1)k=опред. 3 порядка.
Смешанное произведение (a,b,c)=([a,b],c)=|x1x2x3 y1y2y3 z1z2z3|.
6. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве.
Каноническое уравнение прямой. Прямая Л в пространстве определяется однозначно, если известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой, называемый направляющий вектором этой прямой, или если известны две точки. Канонические уравнения прямой (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p если даны M0(x0,y0,z0) – точка. a(m,n,p) - ненулевой вектор. M(x,y,z) - произвольная точка на прямой.
Уравнение прямой через две точки M0=(x0,y0,z0) M1=(x1,y1,z1) a=M0M1=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)
(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0)
Параметрические векторные уравнения прямой r=r0+M0M r=r0+ta t?R.В координатной форме x=x0+tm y=y0+tn z=z0+tp t?R (параметрические уравнения прямой в пространстве)
Общее уравнение плоскости. M0(x0,y0,z0) – точка. n(A,B,C) - ненулевой вектор, называемый нормальным,M(x,y,z) - произвольная точка плоскости. r – r0=M0M=(x-x0,y-y0,z-z0) _|_n -> (n,r-r0)=0 или A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Общее уравнение плоскости. Ax+By+Cz+D=0, где D=-Ax0-By0-Cz0
Уравнение плоскости параллельной двум векторам. Два неколин вектора a1(m1,n1,p1) и a2(m2,n2,p2) и точку
M0(x0,y0,z0) |n1n2p1p2|(x-x0)-|m1m2p1p2|(y-y0)+|m1m2n1n2|(z-z0)=0
Уравнение плоскости через три точки. (три точки … два вектора MoM1 И M0M2… n_|_плоск коефф A,B,C)
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0 p>=0
Ax+By+Cz+D=0 разделить на ±Корень(A2+B2+C2),где знак перед радикалом противоп D.Множитель μ=1/±+n+=1/±Корень(…).. Расстояние от точки М до плоскости заданной векторным уравнением.
М0(x0,y0,z0) p=|Ax0+By0+Cz0|/Корень(A2+B2+C2)