КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки, называемой центром, есть величина постоянная.
Пусть окружность имеет радиус r, а центр в точке С(a; b). Точка М(х, у) – произвольная точка окружности. Тогда, по определению, СМ = r. По формуле расстояния между двумя точками находим:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
(1) – каноническое уравнение окружности. Раскроем скобки. Получим уравнение второй степени. Таким образом, окружность – линия второго порядка.
Запишем общее уравнение второй степени: Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, в котором А, В, С не равны нулю одновременно. Сравним его с уравнением окружности. Очевидно, чтобы уравнение второго порядка было уравнением окружности необходимо, чтобы:
1) А = С; 2) В = 0.
Частный случай уравнения (1) – уравнение окружности с центром в начале координат: x2 + y2 = R2..
ЭЛЛИПС
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.
Для вывода уравнения эллипса введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы эллипса лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение эллипса в этой системе координат.
Пусть F 1 и F 2 – фокусы, М – произвольная точка эллипса. Расстояние между фокусами обозначим через 2 с, сумму расстояний от точки М до фокусов через 2 а.
По определению 
.
Обозначим через 
и 
расстояния от точки М до фокусов: 
. Числа и называются фокальными радиусами точки М. Из определения следует, что точка М лежит на данном эллипсе в том и только том случае, когда + = 2 а.
Чтобы получить искомое уравнение эллипса, нужно выразить и через х и у. Так как F 1 и F 2 расположены на оси О х симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (– с; 0) и (с; 0). Тогда 
, 
– искомое уравнение эллипса. Упростим его.
Изолируем один из корней и возведем обе части равенства в квадрат:
.
Введем в рассмотрение новую величину 
(по условию 
). Получим: 
. Разделим на 
: 
(2)
(2) – каноническое уравнение эллипса. Можно показать, что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (2), принадлежит эллипсу и, наоборот (Шипачев, с 78).
Исследуем форму эллипса по каноническому уравнению:
1) Так как уравнение (2) содержит слагаемые только с четными степенями координат х и у, то эллипс симметричен относительно осей О х и О у, а так же относительно начала координат.
Ось симметрии, на которой находятся фокусы эллипса, называется фокальной или большей осью. Точка пересечения осей симметрии – центром эллипса.
Точки A 1(− a; 0), A 2(a; 0), B 1(0; − b), B 2(0; b) пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 называются соответственно большой и малой осями эллипса; числа a = OA 1 = OA 2, b = OB 1 = OB 2 – большой и малой полуосями эллипса.
2) Чтобы определить форму эллипса, разрешим уравнение (2) относительно у: 
и, учитывая, что в I четверти 
, рассмотрим, в силу симметрии, уравнение 
:
· х = 0 
В(0; b);
· при возрастании х от 0 до а у уменьшается;
· х = а 
А(а; 0);
· при х > а у – мнимые таких точек нет.
Итак, частью эллипса, расположенной в I четверти, является дуга ВА. Отображая ее относительно обеих координатных осей, получаем весь эллипс.
Частным случаем эллипса является окружность при а = b эллипс можно получить из окружности радиуса а, сжатием её в а/b раз вдоль оси О у.
Введем ещё одну величину, характеризующую форму эллипса.
Эксцентриситетом эллипса 
называется отношение его фокального расстояния к длине большой оси, т.е. 
. Так как a > c, то 0 ≤ < 1.
Принимая во внимание, что 
, найдем 
при очень малом ε числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если ε близко к 1, то b мало по сравнению с числом а и эллипс вытянут вдоль большей оси. Таким образом, эксцентриситет характеризует меру вытянутости эллипса.
Две прямые, перпендикулярные большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии 
от него, называются директрисами эллипса: 
и 
.
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: 
, 
.
ГИПЕРБОЛА
Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Систему координат выбираем так же, как и для эллипса. По определению ïr1 – r2ï= 2 a, где и – фокальные радиусы точки М. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2 c. Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
, 
, 
, 
Обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось), тогда 
:
(3)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по каноническому уравнению:
1) Так как уравнение (3) содержит слагаемые только с четными степенями координат х и у, то эллипс симметричен относительно осей О х и О у, а так же относительно начала координат.
Ось симметрии, на которой находятся фокусы гиперболы, называется фокальнойосью. Точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы.
Точки A 1(− a; 0), A 2(a; 0) пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы, а
сама ось – действительной осью гиперболы.
Другая ось (Oy) не имеет с гиперболой общих точек и называется мнимой.
Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы; числа a = OA 1 = OA 2, b = OB 1 = OB 2 – действительной и мнимой полуосями гиперболы.
y
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1 a F2
c
2) Чтобы определить форму гиперболы, разрешим уравнение (3) относительно у: 
и, учитывая, что в I четверти , рассмотрим, в силу симметрии, уравнение 
:
· х = 0 
гипербола не пересекает ось Оу;
· при возрастании х от 0 до а у – мнимые таких точек нет;
· х = а А(а; 0);
· при х > а у > 0. При возрастании х возрастает и у. Точка М на гиперболе перемещается с ростом х «вправо» и «вверх», причем её начальное положение – точка А(а; 0). Точка М, перемещаясь по гиперболе в бесконечность, неограниченно приближается к прямой 
, которая является асимптотойгиперболы (доказательство самостоятельно). Для её построения можно использовать прямоугольник.
Если в уравнении (3) переставить буквы местами, то получим уравнение сопряженной по отношению к (3) гиперболы: 
Эти гиперболы имеют одни и те же асимптоты.
Замечание. Гипербола, полуоси которой равны a = b, называется равносторонней. Ее каноническое уравнение приводится к виду x 2 − y 2= a 2. Асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны.
Итак, частью гиперболы, расположенной в I четверти, является дуга АМ. Отображая ее относительно обеих координатных осей, получаем всю гиперболу.
Введем ещё одну величину, характеризующую форму гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение её фокального расстояния к длине действительной оси, т.е. . Так как с > а, то > 1.
Принимая во внимание, что 
, найдем 
чем меньше эксцентриситет, т.е, чем ближе он к 1, тем меньше b / а основной прямоугольник гиперболы более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму гиперболы.
Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы: и . Правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая – между центром и левой вершиной.
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы: 
, .
ПАРАБОЛА
Дадим общее определение рассмотренных линий: геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε, есть эллипс, если ε < 1, и гипербола, ε > 1.
Что представляет собой геометрическое место точек, определенное аналогичным образом при условии, что ε = 1?
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Для вывода уравнения параболы ведем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать положительным направлением направление от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. В этой системе координат фокус 
, а директриса задается уравнением 
.
Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.
Пусть М – произвольная точка параболы, 
, d – расстояние от М до директрисы, р – расстояние от фокуса до директрисы. Величину р называют параметром параболы. Точка М будет лежать на данной параболе в том и только том случае, когда 
: 
.
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно 
y2 = 2 px. (4)
(4) – каноническое уравнение параболы.
Исследуем форму параболы по её уравнению.
Так как уравнение (4) содержит у только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси О х достаточно рассмотреть часть параболы, лежащую в верхней полуплоскости () 
:
– если х < 0, то уравнение дает мнимые значения у левее оси О у ни одной точки параболы нет;
– если х = 0, то у = 0 начало координат лежит на параболе и является самой «левой» её точкой;
– при возрастании х возрастает у, причем если 
, то 
.
Таким образом, переменная точка 
, перемещающаяся по параболе, исходит из начала координат с ростом х и движется «вправо» и «вверх», причем при точка М бесконечно удаляется как от оси О у, так и от оси О х. Симметрично отражая рассмотренную часть параболы относительно оси О х, получаем всю параболу.
Точка О пересечения параболы с осью абсцисс называется ее вершиной. Ось координат Ox является осью симметрии и называются ее осью параболы.
Геометрический смысл параметра р состоит в том, что он характеризует «ширину» области, ограниченной параболой: пусть 
и 
– симметричные относительно оси параболы точки. Расстояние 
тем больше, чем больше р.
Замечание. Если в системе координат ось ординат перпендикулярна директрисе d, а парабола расположена в верхней полуплоскости, то уравнение параболы x 2 = 2 py можно записать в хорошо известном виде квадратичной функции 
. При этом директриса расположена в нижней полуплоскости системы координат и задается уравнением 
.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Задача: Зная координаты точки в одной системе координат, найти её координаты в другой системе.