Статические игры с полной информацией




 

1.1 Что такое игра в нормальной форме? Что такое строго доминируемая стратегия для игры в нормальной форме? Что такое равновесие Нэша в игре в нормальной форме?

1.2 Какие стратегии останутся при последовательном исключении доминируемых стратегий в данной игре в нормальной форме? Каковы равновесия Нэша (в чистых стратегиях) в этой игре?

  L C R
T 2, 0 1, 1 4, 2
M 3, 4 1, 2 2, 3
B 1, 3 0, 2 3, 0

1.3 Игроки 1 и 2 ведут переговоры по дележу общего подарка стоимостью 1. Оба игрока одновременно называют желаемые доли s1 и s2 от 0 до 1. Если их сумма s1+s2 не больше 1, то они получают желаемое. Если s1+s2 > 1, то они не получают ничего (т.е. по 0). Каковы равновесия Нэша (в чистых стратегиях) в этой игре?

1.4 Предположим, что в модели олигополии Курно – n фирм. Пусть qi – объем выпуска фирмы i, а совокупный выпуск равен Q = q1+...+qn. Пусть P – рыночная цена, соответствующая данному объему выпуска, определяется обратной функцией спроса P(Q) = a – Q (при Q < a, иначе P = 0). Предположим, что полные затраты фирмы i по выпуску qi равны Сi(qi)=c qi, т.е. что нет фиксированных затрат (не зависящих от объема выпуска) и что предельные затраты (на единицу выпуска) постоянны и равны c < a. Будем считать, что фирмы выбирают объемы выпуска одновременно. Каково равновесие по Нэшу? Что будет при n, стремящимся к бесконечности?

 
 

 

 


1.5 Рассмотрим две конечные версии модели дуаполии Курно. В первой версии будем считать, что каждая фирма должна выбрать между половиной монопольного выпуска qm/2 = (a – c)/4 или равновесным по Нэшу объемом
qc/2 = (a – c)/3. Другие объемы выпуска невозможны. Покажите, что получившаяся игра эквивалентна дилемме заключенного: у каждого игрока есть строго доминирующая стратегия, но равновесие хуже для обоих, чем кооперативный исход. Во второй версии будем считать, что каждая фирма может выбрать один из трех объемов выпуска: qm/2, qc или q’. Найдите такое значение q’, чтобы эта игра была бы эквивалентна модели Курно в том смысле, что единственным равновесием Нэша в ней было бы (qc, qc).

1.6 Рассмотрим дуаполию Курно с обратной функцией спроса P(Q) = a – Q, но с асимметричными затратами: c1 и c2. Каково равновесие Нэша при условии
0 < ci < a/2 для каждой фирмы? А что, если c1 < c2 < a, но 2c2 > a + c1?

1.7 Предположим, что в модели Бертрана фирмы выпускают однородный продукт и могут полностью удовлетворить весь спрос. Точнее, будем считать что спрос для фирмы i равен a – pi, если pi < pj, 0, если pi > pj и
(a – pi)/2, если pi = pj. Предположим, что нет фиксированных и что предельные затраты (на единицу выпуска) постоянны и равны c < a. Покажите, что если фирмы выбирают цены одновременно, то в единственном равновесии Нэша они выберут цену с.

1.8 Предположим, что мнения некоторого электората равномерно распределены по идеологическому спектру от левого фланга (х = 0), до правого (х = 1). Каждый кандидат в рамках предвыборной кампании выбирает свою платформу (точку на отрезке [0,1]). Каждый избиратель видит все платформы кандидатов и голосует за кандидата с наиболее близкой для себя платформой. Например, если всего участвуют два кандидата с платформами
х1 = 0.3, х2 = 0.6, то за первого проголосуют с мнениями из отрезка [0,0.45], а за второго – из отрезка [0.45,1], поэтому победит второй (55% против 45%). Предположим, что для кандидатов главное быть избранными, а суть платформы для них не совсем важна. Каково равновесие Нэша в случае двух кандидатов? Каково равновесие Нэша при трех и более кандидатов? (Предположим, что кандидаты, выдвинувшие одну платформу делят голоса, а если победителей несколько, то между ними бросается жребий)

1.9 Что такое смешанная стратегия для игры в нормальной форме? Что такое равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях?

1.10 Покажите, что в следующих двух играх нет новых равновесий Нэша в смешанных стратегиях (кроме равновесий в чистых стратегиях).

Дилемма заключенного Заключенный 2
молчать сознаться
Заключенный 1 молчать –1, –1 –9, 0
сознаться 0, –9 –6, –6

 

  L C R
T 0, 4 4, 0 5, 3
M 4, 0 0, 4 5, 3
B 3, 5 3, 5 6,6

1.11 Найдите равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях для игры из задачи 1.2.

1.12 Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях в следующей игре в нормальной форме.

  L R
T 2, 1 0, 2
B 1, 2 3, 0

1.13 У каждой из двух фирм есть по одной вакансии на однотипную работу. Предположим, что они предлагают разную зарплату: фирма i предлагает зарплату wi, причем (1/2)w1 < w2 < 2w1. Предположим, что есть два рабочих, которые могут одновременно подать заявку, причем только в одну фирму. Если они подали заявки в разные фирмы, то оба получают работу. Если они подали заявки в одну и ту же фирму, то кто-то один из них (по жребию) получает работу, а другой остается без работы. Найдите равновесия Нэша в этой игре:

  Рабочий 2
заявка в фирму 1 заявка в фирму 2
Рабочий 1 заявка в фирму 1 w1/2,w1/2 w1,w2
заявка в фирму 2 w2,w1 w2/2,w2/2

1.14 Докажите, что чистые стратегии, входящие с положительной вероятностью в равновесие Нэша в смешанных стратегиях сохранятся при последовательном исключении строго доминируемых стратегий.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: