Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.
L=f+л1F1+л2F2+…+лmFm (4)
Функция Лагранжа.
Теперь находим экстремум этой функции. Здесь л1, л2,…лn –множители Лагранжа.
Предположим, что функция дифференцируема
L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,l1,l2,…ln)
Необходимые условия экстремума:
/d'L/d'u1=0...
/d'L/d'um=0
/d'L/d'x1=0... необходимые условия экстремума
\d'L/d'xn=0
\F1=0
\Fn=0
Эта система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.
Мо(u10,...,um0,x10,...,xn0)
lо(k10,...,лm0)
Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.
Достаточное условие экстремума
Пусть ф. u-f(x1…..xn) один раз дифференцируема в некоторой окрестн. (.) M0 и 2 раза дифференцируема в самой (.)M0. пусть кроме того M0-стационарная (.) Тогда если d2u положительно определённая квадратичн. форма от переменных dx1…..dxn, то ф. имеет в (.)M0 локальный минимум
Если d2u отриц. определённая квадратичн. форма, то ф. имеет в (.)M0 локальный максимум
Если d2u знакопеременная квадратичная форма, то M0 не явл. (.) экстремума
Замечание: при проверке критерия знакоопределённости квадратичной формы d2u мы анализируем матрицу А
d2u/dx12 d2u/dx2dx1 ….. d2u/dx1dxn
А= d2u/dx2dx1 d2u/dx22 ….. d2u/dx2dxn
…………………………………………
d2u/dxndx1 …………………. d2u/dxn2
Теор. Пусть ф. u=f(x,y) 1 раз дифференцруема в окрестности (.) M0(x0,y0) и 2 раза в самой (.) M0, тогда если в (.) M0 выполняется условие d2u/dx2 * d2u/dy2 - d2u/dxdy * d2u/dydx >0, то экстрем. В (.) M0 существует, причём если d2u/dx2 > 0, то M0 (.) минимума; если
d2u/dx2 < 0, то M0 (.) максимума
Если d2u/dx2 * d2u/dy2 - d2u/dxdy * d2u/dydx <0, то экстрем. ф. в (.)M0 не существует.
Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
ФункцияF(x) называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке Х, если для любого х Х выполняется условие F’(x)=f(x). Например, функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx на всей прямой, т.к. при любом значении x(sinx)’=cosx
Замечание.Задача нахождения первообразной решается неоднозначно.Действительно,если F(х) первообразная,то F(х)+с,где с-const,также явл первообразной,т.к. (F(х)+с)′=F′(х)+0=f(х) для всех х?Х.
Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна 0 постоянна на этом промежутке. f’(x)=0(x"X), то f(x)=c для всех х?Х.
Доказательство:Рассмотрим 2точки .Пусть х1<х2,тогда по Т. Лагранжа, f(x2)-f(x1)=f’(х0)(x2-x1), где х0? (x1;x2). Т.к. f’(х0)=0, то f(x2)=f(x1)=0, т.е. f(x)=С, где С- некоторое число.
[Т] Если F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C.
Доказательство: Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, т.е. F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для функции f(x) на промежутке Х, т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого х'Х (Ф(x)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Т.о. мы получили, что производная функции равна 0, а это означает по лемме, что функция Ф(х)-F(x) постоянна, т.е. Ф(х)-F(x)=С, на промежутке Х, где С- некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C.
Следствие 1: множество функций F(x)+C исчерпывает все множество первообразных функций для f(x).