Интеграл с переменным верхним пределом.




Интеграл с переменным верхним пределом.

x Î [a,b]

Это интеграл у которого нижний предел а=const а верхний предел х переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела х

f(х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.

[Т] Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=()’x=f(x)

Ф’(x)=()’=f(x)

Ф’(x)=

Замечание. Т.о., любая непрер на отрезке функция f(х) имеет на этом отрезке первообр, которой явл интергал с перемен верхним пределом Ф(х),т.к. любая др первообр может отлич на константу,то сущ связь между опр и неопр интегралом.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть Ф(х)=f(x) и F’(х)=f(х) - др первообр.

Ф(х)=F(x)+C, =F(x)+C, где С- некоторое число, a£x£b. Подставляя в это равенство значение х=а и используя свойство 1, имеем: =0, получим: 0= , F(a)+C, C=-F(a)

Т.е. для любого хÎ[a,b] Полагая здесь х=b получим искомую формулу.

Замечание 1.В качестве F(х) можно взять любую первообр для f(х) на отрезке [a,b].

Замечание 2. Ф-ла Ньютона-Лейбница явл методом вычисления опр интеграла.

 

Замена переменных в определенном интеграле.

[T] пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и пусть выполнены следующие условия:

1) функцию х=j(t) дифференцируема на [a,b] и j’(t) непрерывна на [a,b]

2) Множеством значений функции х=j(t) является отрезок [a,b]

3) j(a)=a и j(b)=b, то справедлива формула

Доказательство: По формуле Ньютона- Лейбница:

Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на [a,b].

Рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F(j(t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’(j(t))*j’(t)=f(j(t))j’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f(j(t))j’(t), непрерывной на [a,b] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, = Ф(b)-Ф(a)=F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)=

Замечание1. При исп-нии данной ф-лы не надо возвращ от новой переем-ной t к старой х.

Замечание 2. При исп-нии ф-лы надо проверять соблюдение всех условий.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

[T] Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a,b] то справедлива формула

Доказательство Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда , ч т.д.

 

 

Приложение определенного интеграла: площадь криволин трапеции,длина дуги плоской кривой,объем тела вращения и площадь поверхности.

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную [a,b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a,b]. S=

Геометрический смысл определнного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [a,b] численно равен площади криволинейной трапеции.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-07-22 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: