Интеграл с переменным верхним пределом.
x Î [a,b]
Это интеграл у которого нижний предел а=const а верхний предел х переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела х
f(х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.
[Т] Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=()’x=f(x)
Ф’(x)=()’=f(x)
Ф’(x)=
Замечание. Т.о., любая непрер на отрезке функция f(х) имеет на этом отрезке первообр, которой явл интергал с перемен верхним пределом Ф(х),т.к. любая др первообр может отлич на константу,то сущ связь между опр и неопр интегралом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть Ф’(х)=f(x) и F’(х)=f(х) - др первообр.
Ф(х)=F(x)+C, =F(x)+C, где С- некоторое число, a£x£b. Подставляя в это равенство значение х=а и используя свойство 1, имеем: =0, получим: 0= , F(a)+C, C=-F(a)
Т.е. для любого хÎ[a,b] Полагая здесь х=b получим искомую формулу.
Замечание 1.В качестве F(х) можно взять любую первообр для f(х) на отрезке [a,b].
Замечание 2. Ф-ла Ньютона-Лейбница явл методом вычисления опр интеграла.
Замена переменных в определенном интеграле.
[T] пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и пусть выполнены следующие условия:
1) функцию х=j(t) дифференцируема на [a,b] и j’(t) непрерывна на [a,b]
2) Множеством значений функции х=j(t) является отрезок [a,b]
3) j(a)=a и j(b)=b, то справедлива формула
Доказательство: По формуле Ньютона- Лейбница:
Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на [a,b].
Рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F(j(t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’(j(t))*j’(t)=f(j(t))j’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f(j(t))j’(t), непрерывной на [a,b] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, = Ф(b)-Ф(a)=F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)=
Замечание1. При исп-нии данной ф-лы не надо возвращ от новой переем-ной t к старой х.
Замечание 2. При исп-нии ф-лы надо проверять соблюдение всех условий.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
[T] Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a,b] то справедлива формула
Доказательство Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда , ч т.д.
Приложение определенного интеграла: площадь криволин трапеции,длина дуги плоской кривой,объем тела вращения и площадь поверхности.
Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную [a,b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a,b]. S=
Геометрический смысл определнного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [a,b] численно равен площади криволинейной трапеции.