Парная нелинейная регрессия

 

Общий вид регрессионной модели:

. (1)

Если в уравнении (1) присутствует только один фактор X, а f – нелинейная математическая функция, получим парную нелинейную модель регрессии вида

Y=f(X).

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) регрессии, нелинейные как относительно объясняющих переменных, так и относительно оцениваемых параметров.

К первому классу относятся, например:

1) полиномы разных степеней

;

2) равносторонняя гипербола

.

Ко второму классу относятся:

1) степенная функция

;

2) показательная

;

3) экспоненциальная

.

Замечание.

Если модель второго класса с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду, то она называется внутренне линейной, если же модель не может быть сведена к линейной функции, то она называется внутренне нелинейной (например, и другие). Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры.

Работа с такими моделями сводится к их предварительной линеаризации (приведению к линейному виду). Модели их первого класса приводятся к линейному виду простой заменой переменных. Для линеаризации моделей второго класса используют полулогарифмическую функцию или логарифмирование. Полученные таким образом вспомогательные линейные модели оценивают обычным МНК. Затем осуществляют обратный переход к нелинейной функции.

Пример.

Пусть зависимая переменная y – прибыль в семи различных торговых точках (исходные данные приведены в таблице 1), а фактор x – товарооборот в них.

Требуется: см. пункты 8, 9 в методичке.

Решение:

Степенная модель

.

Линеаризация:

,

обозначим lg y=Y, lg x= X, и получим вспомогательную линейную модель вида

Y=A+bX.

Для ее построения воспользуемся таблицей 1 (столбцы X=lg x и Y=lg y) и результатами регрессионного анализа.

Таблица 1

n	y	x	lg y=Y	lg x=X	yp	ei	ei^2	eiотн	y-ycp	(y-ycp)^2
			0.301	1.699	2.464	-0.464	0.215	23.200	-14.286	204.082
			0.602	1.778	4.097	-0.097	0.009	2.427	-12.286	150.939
			1.041	1.929	10.823	0.177	0.031	1.606	-5.286	27.939
			1.230	1.929	10.823	6.177	38.151	36.333	0.714	0.510
			1.255	2.000	17.030	0.970	0.941	5.389	1.714	2.939
			1.447	2.079	28.317	-0.317	0.101	1.133	11.714	137.224
			1.531	2.146	43.527	-9.527	90.773	28.022	17.714	313.796
Сумма							130.222	98.110		837.429
Среднее	16.286	91.429						14.016

 

Вспомогательная линейная модель примет вид

Y=-4.346+2.789*X.

Обратный переход к степенной функции:

Степенная модель парной регрессии примет вид:

.

С помощью этой модели рассчитываем все последующие столбцы таблицы 1, начиная с и далее.

Качественные характеристики модели:

–

84.4 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе степенной модели в среднем на 14 %;

эластичность при степенной связи переменных определяется показателем степени, то есть :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 2,789%, изменение эластично.

График:

x y yp     2.464     4.097     10.823     10.823     17.030     28.317     43.527

Показательная модель

.

Линеаризация:

Таблица 2

n	y	x	lg y=Y	yp	ei	ei^2	eiотн
			0.301	3.119	-1.119	1.252	55.954
			0.602	4.245	-0.245	0.060	6.125
			1.041	9.173	1.827	3.339	16.611
			1.230	9.173	7.827	61.265	46.042
			1.255	14.564	3.436	11.807	19.089
			1.447	26.976	1.024	1.048	3.657
			1.531	49.967	-15.967	254.929	46.960
Сумма						333.700	194.439
Среднее	16.286	91.429					27.777

 

Y=-0.161+0.0133*x – вспомогательная линейная модель.

Обратный переход:

Окончательно показательная модель примет вид:

.

Качественные характеристики модели:

–

77,6 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе модели в среднем на 28 %, модель неточная;

эластичность при показательной связи переменных определяется по формуле :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 2,82%, изменение эластично.

График:

x y yp     3.119     4.245     9.173     9.173     14.564     26.976     49.967

 

Гиперболическая модель

Линеаризация:

используем простую замену ,

.

Таблица 3

n	y	x	1/x=X	yp	ei	ei^2	eiотн
			0.02	-2.298	4.2983	18.475	214.9137
			0.0167	5.6834	-1.683	2.8338	42.08507
			0.0118	17.421	-6.421	41.231	58.37421
			0.0118	17.421	-0.421	0.1774	2.477429
			0.01	21.647	-3.647	13.299	20.25976
			0.0083	25.638	2.3624	5.581	8.437161
			0.0071	28.488	5.5118	30.38	16.21119
Сумма						111.98	362.7585
Среднее	16.286	91.429					51.82265

 

– вспомогательная линейная модель;

– гиперболическая модель.

Качественные характеристики модели:

–

86,6 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе модели в среднем на 51,8 %, модель неточная;

эластичность при гиперболической связи переменных определяется по формуле :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 1,6%, изменение эластично.

График:

x y yp     -2.298     5.6834     17.421     17.421     21.647     25.638     28.488

 

Сравнение моделей

Таблица 4

Модель	R^2	eотн.ср.	Эластичность
Степенная	0.844	14.02	2.789
Показательная	0.776	27.78	2.82
Гипербoлическая	0.866	51.8	1.6