Ответ «Кинематическая задача».

Итого – 10 баллов

«Поливаем огород»

Поливая огород из шланга, мальчик Петя задумался, а какая масса воды находится в воздухе? Он подумал и решил задачу. Решите ее и вы. Струя воды вылетает со скоростью 30 м/спод углом 30 градусов к горизонту. Площадь отверстия 2 см². Ускорение свободного падения g=10 м/с² (10 баллов)

Ответ «Поливаем огород»

Новым элементом в этой задаче является формула для массы воды, вылетающей из шланга за время t (уравнение расхода) m = rsv₀t (2 балла).

Это есть не что иное, как масса воды в цилиндре основанием s и длиной v₀t. В качестве времени надо взять время движения любого элемента струи до падения на землю t = (2v₀)/g = (2v₀sina)/g (4 балла).

Окончательно получим массу воды m = (2rsv₀²sina)/g = 2 кг. (4 балла)

Итого – 10 баллов

«Нагрев воды»

В теплоизолированном баке с некоторым количеством воды находится электронагреватель постоянной мощности. Если включить нагреватель в сеть, а в бак добавлять воду температурой 0 °С со скоростью 1 г/с, то установившаяся температура воды в баке будет равна 50 °С. Какая температура установится в баке, если в него вместо воды добавлять лед температурой 0 ° С со скоростью 0,5 г/с? Теплообменом бака с окружающей средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/(кг×°С), удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг. (10 баллов)

Ответ «Нагрев воды»

Найдем сначала мощность электронагревателя. В установившемся режиме m₁ = 1 г воды за 1 с нагревается на Dt₁ = 50 °C, получая при этом количество теплоты Q = cm₁Dt₁ =210 Дж. (4 балла).

Следовательно, мощность нагревателя 210 Вт. Обозначим установившуюся температуру воды в баке во втором случае t₂. Тогда при той же мощности нагревателя за 1 с количество теплоты 210 Дж будет тратиться на плавление m₂ = 0,5 г льда и нагревание получившейся при этом воды от 0°C до температуры t₂. Отсюда Q = lm₂ + cm₂t₂. (4 балла)

После этого выразим t₂. Она получится 20 °C. (2 балла)

Итого – 10 баллов

«Часы на башне»

На циферблате башенных часов, изготовленном из непроводящего материала, между соседними металлическими делениями, расположенными через 1 минуту по всему кругу, включены одинаковые резисторы сопротивлением r каждый. На концах часовой и минутной стрелок, также изготовленных из непроводящего материала, имеются контакты, соприкасающиеся с минутными делениями, находящимися под соответствующей стрелкой. Минутная стрелка скачком сдвигается на одно деление через каждую минуту, а часовая – через каждые 12 минут. Ровно в 12.00 к контактам на концах стрелок подсоединили прибор для измерения сопротивления – омметр. Через какое время после этого показания омметра в первый раз достигнут максимального значения и чему равно это значение? (10 баллов)

Ответ «Часы на башне»

Пусть между часовой и минутной стрелками расположено k резисторов. Тогда омметр будет измерять сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных резисторов сопротивлениями kr и (60 - k)r. Сопротивление такой цепи равно

R = (kr×(60 - k)r)/(kr+(60 - k)r) = r/60[30² – (k - 30)²]. (4 балла)

Таким образом, показания прибора достигают R_max = 15r при k = 30, когда стрелки выстраиваются вдоль одной прямой. (4 балла)

В первый раз это случится в 12 ч 32 мин, когда часовая стрелка сдвинется на 2 деления, а минутная на 32 деления, т.е. через 32 минуты после 12.00 (2 балла).

Примечание. Если участники олимпиады просто дадут правильный ответ без вывода формулы для сопротивления путем рассуждений, максимальное число баллов за такой ответ – 2

Итого – 10 баллов

«Кинематическая задача».

Тело движется по прямой. График зависимости его скорости u от координаты x приведён на рисунке. Найдите ускорение тела в точке с координатой x = 3 м. Найдите также максимальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

Ответ «Кинематическая задача».

Из графика следует, что при x < 1 м и x > 4 м скорость тела постоянна, а значит, его ускорение равно нулю. В интервале от м до м связь между численными значениями скорости u и координаты x, выраженными в СИ, даётся формулой

,

Где k - размерный коэффициент, k = 1 c^-1. Пусть за малое время D t скорость тела изменилась на величину D u. Тогда:

Разделив правую и левую часть на , получаем:

Ещё раз отметим, что в последней формуле множитель перед скоростью равен единице и имеет размерность c^-1. Таким образом, в точке с координатой м тело имеет скорость м/с и ускорение м/с².

Максимальное по модулю ускорение тело имеет в той точке интервала 1 м < x < 4 м, где максимальна по модулю его скорость, то есть в точке, где его координата минимальна. Это точка с координатой м. Скорость тела в этой точке равна м/с, а искомое максимальное ускорение равно м/с².