Исследование функций с помощью производных
Возрастание и убывание функций
Теорема 1.
Если во всех точках х некоторого промежутка D производная функции 
, то функция 
постоянна на этом промежутке.
Доказательство
Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, т.е. для любых точек 
из промежутка D существует точка 
такая, что справедлива формула конечных приращений Лагранжа: 
. По условию теоремы 
, следовательно, 
. Отсюда 
. Это означает, что функция постоянна на этом промежутке, что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция 
была возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
(1)
Аналогично условие
является необходимым и достаточным для убывания функции на интервале (a, b).
Доказательство
Необходимость
Пусть 
– произвольная точка интервала (a, b). Из определения возрастающей функции имеем:
Достаточность
Пусть выполняется условие (1) и – произвольные точки из промежутка (a, b), причем 
. Тогда по теореме Лагранжа существует точка такая, что справедлива формула конечных приращений Лагранжа:
.
По условию теоремы 
и 
, следовательно, 
. Отсюда, 
, т.е. функция не убывает, что и требовалось доказать.
Определение 1. Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности.
|
|
|
Рис.1 Рис.2
Геометрический смысл: если 
то угол α – тупой (рис.1), если 
то угол α – острый (рис.2).
Экстремумы.
Определение 2. Точка, отделяющая промежуток возрастания от промежутка убывания и наоборот, называется точкой экстремума.
Определение 3. Пусть функция определена на [ a, b ]. Точка 
называется точкой максимума функции , если для любого х из некоторой достаточно малой окрестности точки 
выполняется неравенство 
. Точка называется точкой минимума функции , если для любого х из некоторой достаточно малой окрестности точки выполняется неравенство 
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема 2. (Необходимое условие существования экстремума).
Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то
.
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными, а точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв, называются критическими. Все точки экстремума функции находятся среди ее критических точек.
Теорема 3. (Достаточное условие существования экстремума).
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак
1) с «+» на «–», то – точка максимума,
2) с «–» на «+», то – точка минимума,
3) если не меняет знак, то в критической точке экстремума нет.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
1) находят на 
экстремумы;
2) определяют значения на концах ;
3) из всех полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особый раздел математики – линейное программирование.