Оглавление
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 4
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. 4
1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 6
1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными 7
1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 9
1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным. 11
1.6. Обобщенное однородное уравнение. 14
1.7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 15
1.8. Уравнение Бернулли. 18
1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. 20
1.10. Интегрирующий множитель. 23
2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. 24
2.1. Методы понижения порядка уравнения. 24
2.2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. 28
2.3. Определитель Вронского. 30
2.4. Структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка. 32
2.5. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 33
2.6. Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка. 35
2.7. Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.. 38
2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 43
3. Линейные уравнения высших порядков. 46
3.1. Однородное уравнение. 46
3.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. 47
4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 49
4.1. Нормальные системы.. 49
4.2. Метод исключения. 51
4.3. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОС ДУ) 52
4.4. ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами. 56
4.5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ) 59
4.6. Метод вариации произвольных постоянных. 61
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные понятия
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
, (1.1)
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальные» подчеркивает, что в них входят производные 
(функции, образованные как результат дифференцирования); термин «обыкновенные» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию 
и любые её производные, но старшая производная 
обязана входить в уравнение n- го порядка. Например,
а) 
– уравнение первого порядка;
б) 
– уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
в) 
– уравнение второго порядка;
г) 
– уравнение первого порядка, образующее после деления на d x эквивалентную форму задания уравнения: 
.
Определение 2. Функция 
называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него 
оно обращается в тождество. Например, уравнение 3-го порядка
имеет решение 
.
Найти тем или иным приёмом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка, причём число констант совпадаёт с порядком уравнения: 
Общее решение может быть явно не разрешено относительно y (x): 
В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1). Например, общим решением дифференциального уравнения 
является следующее выражение:
,
причём второе слагаемое может быть записано и как 
, так как произвольная постоянная 
, может быть заменена новой произвольной постоянной 
.
Придавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определённую функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных констант, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при 
:
. (1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причём общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.
1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1-го порядка
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (
) имеет вид: 
или (если его удаётся разрешить относительно производной) 
. Общее решение 
или общий интеграл 
уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка 
позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом можно найти частное решение, т.е. задача Коши будет решена. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива следующая теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема. Если в уравнении функция 
и её частная производная 
непрерывны в некоторой области D плоскости XOY и в этой области задана точка 
, то существует (и притом единственное) решение , удовлетворяющее как уравнению 
, так и начальному условию 
.
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке 
тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: 
. Другими словами, уравнение задаёт на плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым.
Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению 
приводится уравнение 
и так называемое уравнение в симметрической форме 
.
1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
(3.1)
или уравнение вида
. (3.2)
Чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделёнными переменными, необходимо множители, содержащие переменную x перенести в одну сторону уравнения, а множители, содержащие переменную y, – в другую, а именно:
.
Остается проверить, не потеряны ли решения при делении на выражения, зависящие от переменных. Для этого необходимо решить уравнение 
. Если оно имеет вещественное решение 
, то тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделёнными переменными делением на произведение 
:
,
что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):
. (3.3)
Функции (3.3), определяющие интегральные кривые, будут дополнены решениями 
, если такие решения существуют.
Пример. Решить уравнение: 
.
Решение. Разделяем переменные:
; 
.
Интегрируя, получаем
.
Из уравнений 
и 
находим 
, 
, 
. Непосредственной подстановкой этих функций в исходное уравнение убеждаемся, что эти решения – частные решения.
1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых 
справедливо соотношение 
, называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.
Пример 1. Показать, что функция 
– однородная нулевого измерения.
Решение.
, ,
что и требовалось доказать.
Теорема. Любая функция 
– однородна и, наоборот, любая однородная функция 
нулевого измерения приводится к виду 
.
Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, так как 
. Докажем второе утверждение. Положим 
, тогда для однородной функции
,
что и требовалось доказать.
Определение 2. Уравнение
, (4.1)
где M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством 
при всех 
, называется однородным.
Очевидно, что уравнение (4.1) всегда может быть приведено к виду
, (4.2)
хотя для его решения можно этого и не делать.
Однородное уравнение (4.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле 
, где 
– новая искомая функция. Выполнив эту замену в уравнении (4.2), получим:
(4.3)
или
,
т.е.
.
Интегрируя последнее равенство, получаем общий интеграл уравнения (4.3) относительно функции
,
который после повторной замены 
даёт общий интеграл исходного уравнения (4.2). Кроме того, если 
– корни уравнения 
, то функции 
(где 
) – решения однородного уравнения (4.2). Если же 
, то уравнение (4.2) принимает вид
и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются функции, определяющие на плоскости полупрямые:
.
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше замены использовать замену 
.
1.5. Дифференциальные уравнения,
приводящиеся к однородным
Рассмотрим уравнение вида
. (5.1)
Если 
, то уравнение (5.1) с помощью замены 
, где 
и 
– новые переменные, а 
и 
– некоторые постоянные числа, определяемые из системы
,
приводится к однородному уравнению
.
Если 
, то уравнение (5.1) принимает вид:
.
Сделав замену 
, получим уравнение, не содержащее независимую переменную.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
и выделить интегральную кривую, проходящую через точки:
а) (2; 2); б) 
.
Решение. Положим . Тогда
и
.
Сокращая на 
и собирая члены при d x иd z, получим:
.
Разделим переменные:
.
Интегрируя, получим:
;
или
, где 
.
Заменяя z на 
, получим общий интеграл исходного уравнения в виде
или, что то же самое,
. (5.2)
Равенство (5.2) определяет семейство окружностей
.
Центры указанных окружностей лежат на прямой 
и в начале координат касаются прямой 
. Функция 
, в свою очередь, является частным решением заданного дифференциального уравнения.
Определим, какие из найденных окружностей, удовлетворяют начальным условиям, т.е. решим задачи Коши:
а) полагая в общем интеграле 
, 
, находим 
,поэтому искомой кривой является окружность 
;
б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку . Зато полупрямая 
проходит через эту точку, а значит, соответствующая функция и даёт искомое решение.
Пример 2. Решить уравнение: 
.
Решение. Исходное уравнение является частным случаем уравнения (5.1).
Определитель 
в данном случае не равен нулю, поэтому сначала рассмотрим систему 
.
Решая указанную систему, получим, что 
.
Выполняя в заданном уравнении замену 
, приходим к однородному уравнению
.
Интегрируя последнее уравнение после подстановки 
, находим 
. Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам 
, имеем 
.
1.6. Обобщенное однородное уравнение
Определение. Уравнение называется обобщённым однородным, если удаётся подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y,d x и d y при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k- го измерения,d x – нулевого измерения и d y – (
)-го измерения.
Например, таковым будет уравнение
. (6.1)
Действительно, при сделанном предположении относительно измерений x, y,d x и d y члены левой части 
и d y будут иметь соответственно измерения (–2), (2 k) и(k –1). Приравнивая эти величины, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k:
.
Это условие выполняется при 
(при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение (–2)). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщённым однородным.
Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки 
, где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем уравнение (6.1) описанным методом. Так как , то 
, а следовательно уравнение (6.1) примет вид:
.
Решая полученное уравнение путем разделения переменных, находим 
, откуда 
. Последнее равенство определяет общее решение уравнения (6.1).
1.7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение. Линейным уравнением 1- го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и её производной. Оно имеет вид:
, (7.1)
где 
и 
– заданные непрерывные функции от x. Если функция 
, то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)
и называется линейным однородным уравнением, в противном случае (
≢0) оно называется линейным неоднородным уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
;
;
. (7.3)
Выражение (7.3) определяет общее решение уравнения (7.2).
Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), воспользуемся так называемым методом вариации произвольной постоянной, который состоит в следующем: постараемся подобрать функцию 
так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда производная функции (7.3) примет вид:
.
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), получим:
или
.
Отсюда
,
где 
– произвольная постоянная.
В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет иметь вид:
. (7.4) 
Заметим, что первое слагаемое в выражении (7.4) представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое – частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при 
. Сформулируем замеченный факт в виде теоремы.
Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 
, то все остальные решения имеют вид 
, где 
– общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде 
. Тогда
.
Подставим найденную производную в исходное уравнение (7.1), получим:
.
Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x) как общий множитель за скобку:
. (7.5)
Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
. 
(7.6)
Решим уравнение (7.6), полагая произвольную постоянную C равной нулю:
, 
.
Найденную функцию v (x) подставим в уравнение (7.5), откуда получим:
.
Решая его, приходим к:
.
Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) имеет вид:
.
1.8. Уравнение Бернулли
Определение. Дифференциальное уравнение вида
,
где 
, 
, называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что 
, разделим обе части уравнения Бернулли на 
. В результате получим:
. (8.1)
Введём новую функцию 
. Тогда
.
Умножим обе части уравнения (8.1) на 
и перейдем к функции z (x):
,
т.е. для функции z (x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем разделе 1.7. Подставим в его общее решение вместо z (x) выражение 
, получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При 
добавляется решение 
. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путём подстановки 
, а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в 1.7. Рассмотрим применение этого метода для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.
Пример. Найти общее решение уравнения:
. (8.2)
Решение. Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причём 
.
Будем искать решение уравнения в виде . Тогда
.
В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u (x), и потребуем, чтобы 
, откуда 
. Тогда для функции u (x) получим уравнение:
,
или
.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции u (x). Решая его, получим:
,
,
.
Следовательно, общее решение уравнения (8.2) имеет вид:
.
1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Определение. Если в уравнении
(9.1)
левая часть есть полный дифференциал некоторой функции 
, то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде 
, следовательно, его общий интеграл есть 
.
Например, уравнение 
есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде 
. А значит,общий интеграл задаётся равенством 
.
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
. (9.2)
Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2).
Покажем, что может быть найдена такая функция 
, что 
и 
.
Действительно, поскольку 
, то
, (9.3)
где 
– произвольная дифференцируемая функция.
Продифференцируем равенство (9.3) по y:
.
Но 
, следовательно,
.
Положим 
, тогда 
.
Итак, построена функция
,
для которой
, а 
.
Пример. Найти общий интеграл уравнения:
.
Решение. В данном случае
Тогда
.
Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функция , частные производные которой соответственно по x и y равны 
и 
:
.
Проинтегрируем первое из двух соотношений по x:
,
.
Теперь продифференцируем по y и приравняем полученное в результате выражение частной производной 
:
.
Отсюда 
и 
. Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является:
.
1.10. Интегрирующий множитель
Определение. Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция 
– такая, что после умножения на неё обеих частей уравнения получающееся дифференциальное уравнение
становится уравнением в полных дифференциалах, т.е. 
, то функция 
называется интегрирующим множителем исходного уравнения.
В случае, когда уравнение является уравнением в полных дифференциалах, полагают 
.
Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.
Если µесть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то имеем тождество:
.
Из этого тождества следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет уравнению с частными производными 1-го порядка:
. (10.1)
Если заранее известно, что 
, где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µот независимой переменной ω:
, (10.2)
где
,
т.е. указанная дробь является функцией только переменной ω.
Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель
, 
.
В частности, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (
) или только от y (
), если выполнены соответственно следующие условия:
, 
или
, 
.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
2.1. Методы понижения порядка уравнения
Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
. (1.1)
Общим решением уравнения (1.1) является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и 
: 
(или 
– общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при 
. Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием 
совпадают на пересечении интервалов, на которых определены уравнения.
Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удаётся далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удаётся понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.
1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной 
. Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:
, (1.2)
т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная . Это позволяет принять 
за новый аргумент, а производную 1-го порядка 
принять за новую функцию 
. Тогда
Таким о