Тема 2. Однофазные электрические цепи синусоидального тока.




 

Порядок решения задач рассматривается на примере цепи, изображенной на рис. 10, в которой е1 = 51,86sin(wt + 25,87 0)b;

E3 = 48 + j×13 = 49,73exp(j15,1 0) В; R1 = 2, R2 = 6, R3 = 4 Ом;

xc1 = 3, xL2 = 7, xL3 = 15 Ом; хС3 = 10 Ом.

 

 

 

 


Рис. 10. Заданная цепь

 

ЗАДАЧА 1. Составление уравнений на основании законов Кирхгофа.

 

1. Дифференциальная форма. Учитывая, что напряжение на активном сопротивлении , на индуктивности , на емкости

и выбирая направление обхода контуров совпадающим с направлением движения часовой стрелки (рис. 10), имеем

 

а)

А)

В) .

 

2. Символическая форма. В уравнениях индуктивное сопротивление (+jхL), а емкостное (-jxC):

 

a) I 1I 2 + I 3 = 0;

A) I 1(R1 – jxC1) + I 2(R2 + jxL2) = E 1;

B) – I 2(R2 + jxL2) – I 3(R3 + jxL3 – jxC3) = - E 3.

 

ЗАДАЧА 2. Расчет цепи синусоидального тока методом контурных токов.

При решении задач пользуются двумя формами записи комплексных чисел – показательной и алгебраической:

A = Aexp(jj) = A1 + jA2,

где A1 = A×cosj; A2 = A×sinj;

при А1 < 0.
при А1 ³ 0;

 

Составляем уравнения:

 

Определяем комплексное значение ЭДС е1:

где E1m – максимальное значение ЭДС е1, E1m = 51,86 В;

yE1 начальная фаза ЭДС е1, yE1 = 25,87 0;

 

В.

Подставляем числовые данные в систему уравнений:

I A(8+j4) – I B(6+j7) = 33 + j×16;

- I A(6+j×7) + I B(10+j×12) = -(48+j× 13).

Находим контурные токи методом определителей Крамера:

Перемножая комплексные числа в числителе и знаменателе последней дроби и приводя подобные члены, получим (учтем, что j2 = -I)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя:

A.

Аналогично определяем ток I B:

A.

Реальные токи ветвей вычисляем по контурным:

I 1 = I A = I + j×2 = 2,236exp(j63,50) A;

I 2 = I AI B = (I + j×2) – (-2 + j×3) = 3 - j×I = 3,162exp(-j18,40) A;

I 3 = - I B = 2 - j×3 = 3,606exp(-j56,30) A.

 

ЗАДАЧА 3. Расчет цепи синусоидального тока методом узловых потенциалов.

 

Примем потенциал точки в (рис. 10) Фв = 0, тогда для узла а имеем

Ф а ,

или с числовыми данными

Ф а

Произведя деление в каждой дроби, получим

Ф а (0,154 + j×0,231 + 0,07 - j×0,082 + 0,098 - j×0,122) =

= 1,385 + j×10,077 + 6,27 - j×4,585.

Отсюда

Ф а = В.

Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома

I 1 = A;

I 2 = A;

 

I 3 = A.

 

 

ЗАДАЧА 4. Расчет и построение топографической диаграммы,
совмещенной с векторной диаграммой токов.

 

Топографической диаграммой называют векторную диаграмму напряжений построенную так, что каждой точке электрической цепи соответствует точка на комплексной плоскости. Векторы напряжений на диаграмме противоположны стрелкам (направлению) тех же напряжений в электрической цепи по отношению к обозначенным точкам. Построение топографической диаграммы можно производить двумя способами: либо вначале вычислить потенциалы точек цепи в комплексной форме и затем отложить их на комплексной плоскости, либо вычислить модули напряжений на отдельных элементах цепи, нанести на комплексной плоскости векторы токов и далее построить топографическую диаграмму, пользуясь известными правилами: на активном сопротивлении векторы напряжения и тока совпадают по фазе, на индуктивном - вектор напряжений опережает вектор тока на 90 0, а на емкостном – вектор напряжения отстает от вектора тока на 90 0.

 

По первому способу

Ф в = 0; Фс = Ф в + Е 1 = 33 + j×16 В;

Ф d = ФсI 1R1 = 33 + j×16 – (I + j×2)2 = 31 + j×12 В;

Ф a = Ф dI 1(-jxc1) = 31 + j×12 - (I + j×2)(-j×3) = 25 + j×15 В;

Ф m = Ф в + I 2R2 = (3 - j×1)6 = 18 - j×6 В;

Ф е = Ф а + I 3×jxL3 = 25 + j×15 + (2 - j×3)× j×15 = 70 + j×45 В;

Ф f = Ф e + I 3R3 = 70 + j×45 + (2 - j×3)× 4 = 78 + j×33 В;

Ф n = Ф fI 3(-jxc3) = 78 + j×33 + (2 - j×3)(-j×10) = 48 + j×13 В.

Выбираем масштабы по току mi и по напряжению mu, откладываем векторы токов и потенциалов и, пользуясь приведенными правилами, наносим направления векторов напряжений на отдельных участках цепи (рис. 11).

 
 

 


Рис. 11. Топографическая диаграмма (mi = 0,5 A/см; mu = 10 В/см)

 

По второму способу

Ucd = I1R1 = 2,236×2 = 4,47 B;

Uda = I1xc1 = 2,236×3 = 6,7 B;

Umв = I2R2 = 3,162×6 = 18,97 B;

Uam = I2xL2 = 3,162×7 = 22,13 B;

Unf = I3xc3 = 3,606×10 = 36,1 B;

Ufe = I3R3 = 3,606×4 = 14,4 B;

Uea = I3xL3 = 3,606×15 = 54,1 B.

Строим в масштабе на комплексной плоскости векторы токов.

Вектор напряжения Umв совпадает с вектором тока I2 (на активном сопротивлении). Откладывая отрезок см по направлению тока I2, получаем точку m. Из точки m перпендикулярно к току I2 в сторону опережения (на индуктивности L2) откладываем отрезок

см.

Получаем точку а. Для определения местоположения точки d из точки а под углом 90 0 к току I1 в сторону отставания (на участке ad емкость) проводим линию и на ней отмечаем отрезок На участке dc цепи включено активное сопротивление R1, следовательно, вектор dc параллелен вектору тока I 1. Продолжая аналогичные построения для каждого участка цепи, получаем диаграмму (рис. 11).

 

ЗАДАЧА 5. Расчет баланса активной и реактивной мощностей цепи

синусоидального тока.

 

Баланс мощностей может быть составлен двумя способами: с применением и без применения комплексного метода.

По первому способу определяют сумму комплексных мощностей источников и сумму комплексных мощностей приемников, включенных в ветви цепи. Мощность источников

S u = E 1 I 1* + E 3 I 3*.

Здесь I 1* и I 3* - сопряженные комплексы токам I 1 и I 3 соответственно;

S u = (33 + j×16)(I - j×2) + (48 + j×13)(2 + j×3) = 122 + j×120 вар.

Мощность приемников

S пр = I12 Z 1 + I2 2Z 2 + I32 Z 3,

где Z 1 = R1 – jxc1; Z 2 = R2 + jxL2; Z 3 = R3 + jxL3jxc3;

I1, I2, I3 – действующие значения токов;

S пр = I12(R1 - – jxc1) + I2 2( R2 + jxL2) + I32(R3 + jxL3jxc3);

S пр = 2,2362(2 - j×3) + 3,1622(6 + j×7) + 3,6062(4 + j×15 - j×10) =

= 122 + j×120 В×А.

Отсюда Рпр = 122 Вт; Qпр = 120 вар.

По второму способу считают отдельно активные и реактивные мощности.

Активная мощность источников

Pu = E1I1cosj1 + E3I3cosj3.

Здесь j1 – угол сдвига фаз между Е1 и I1;

j1 = ye1 - ji1 = 25,87 0 – 63,5 0 = -37,63 0;

j3 – угол сдвига фаз между Е3 и I3;

j3 = ye3 - ji3 = 15,1 0 – (-56,3 0) = 71,4 0;

Pu = 36,67×2,236×cos(-37,630) + 49,73×3,606×cos71,40 = 122; 13 Вт.

Реактивная мощность источников

Q u = E1I1sinj1 + E3I3sinj3;

Q u = 36,67×2,236×sin(-37,630) + 49,73×3,606×sin71,40 = 119,9 вар.

Активная мощность приемников

Рпр = I12R1 + I22R2 + I32R3;

Рпр = 2,2362×2 + 3,1622×6 + 3,6062×4 = 122 Вт.

Реактивная мощность приемников

Q пр = I12(-xc1) + I22xL2 + I32xL3 - I32xc3;

Q пр = 2,2362×(-3) + 3,1622×7 + 3,6062×15 – 3,6062×10 = 120 вар.

Из расчета мощностей следует, что баланс сходится.

 

ЗАДАЧА 6. Построение графика зависимости мгновенного значения

синусоидальной величины от времени.

Запишем мгновенное значение тока i1:

i1 = 2,236 A.

При построении графика откладывают начальную фазу jL1 = 63,50 (рис. 12), причем положительную фазу влево от начала координат, а отрицательную – вправо. С точки зрения математики это означает перенос осей координат в точку А, т.е. производится замена переменных:

x = w t + 63,50; i1 = 3,16sinx.

Эта функция начинается с точки А, где х = 0.

При x = 300 i1 = 3,16sin300 = 3,16×0,5 = 1,58 A;

При x = 600 i1 = 3,16sin600 = 3,16× = 2,74 A;

При x = 900 i1 = 3,16sin900 = 3,16×1 = 3,16 A.

Далее точки располагаются симметрично (рис. 12).

 
 


i

  A                            
                                 
wt

                               
x

-600         900     1800     2700     3600 град
    -1                            
yi1

  -2                            

 

Рис. 12. График зависимости тока i1 от времени t

 

ЗАДАЧА 7. Составление системы уравнений на основании законов
Кирхгофа в магнитно-связанной цепи.

 

В уравнениях необходимо обратить внимание на запись знака напряжения взаимоиндукции U вз = jxМ I. Если направление обхода первой катушки совпадает с направлением тока другой катушки по отношению к одноименным зажимам, то напряжение взаимоиндукции первой катушки записывают со знаком плюс, в противном случае напряжение взаимоиндукции будет со знаком минус.

Для рассматриваемой цепи (рис.)

а) I 1I 2 + I 3 = 0;

A) I 1R1 + I1(-jxC1) + I 2jxL2I 3jxМ + I 2R2 = E 1;

B) I 2R2I 2jxL2 + I 3jxМI 3jxL3 + I 2jxМ - I 3(-jxC3) = - E 3.

В уравнении для контура А напряжение взаимоиндукции второй катушки L2 записано со знаком минус, так как направление обхода катушки L2 выбрано от начала катушки к ее концу (обычно начало катушки обозначают точкой), а ток I3 в катушке L3 протекает от конца катушки к ее началу, т.е. направление обхода катушки L2 не совпадает с направлением тока I3 в катушке L3 по отношению к одноименным зажимам. В уравнение для контура В вошли два напряжения взаимоиндукции: второй катушки U вз2 = I3 jxМ и третьей катушки U вз3 = I2 jxМ.

 

Тема 3. Трехфазные цепи.

 

Решения задач рассматриваются на примере цепи, изображенной на рис. 13., в которой UA = 220 B; xA = 20 Ом; j = 19 0; Rн = 40 Ом; xн = 30 Ом.

 
 

 

 


 

Рис. 13. Схема симметричной трехфазной цепи

 

ЗАДАЧА 1. Найти токи и напряжения U ав, U вс, U сa, при отсутствии конденсаторов.

Так как трехфазная цепь симметрична, то расчет каждой фазы можно произвести отдельно друг от друга, предполагая, что в цепи присутствует нулевой проводник. Обычно рассчитывают токи и напряжения фазы А, а токи и напряжения других фаз получают, сдвигая векторы токов и напряжений на
(-120 0) и (+120 0) для фазы В и С соответственно UA = 220 В.

Пусть U A = UA = B - фазное напряжение фазы А.

Тогда U В = U A× exp(-j1200) = 127exp(-j1200) = -63,5 - j110 B;

U C = U A× exp(j1200) = 127exp(j1200) = -63,5 + j110 B.

 

Для определения токов, необходимо знать сопротивления фаз:

сопротивление нагрузки

Z Н = RН + jxН = 40 + j30 = 50exp(j36,90) Ом.

Общее сопротивление каждой фазы

Z = Z Н + jxА = 40 + j 30 + j 2 = 40 + j 32 = 51exp(j 38,70) Ом.

Ток фазы А по закону Ома

I A = A,

токи фаз В и С:

I B = I Aexp(-j1200) = 2,48exp(-j38,70)exp(-j1200) = 2,48exp(-j158,70) = -2,31 – j0,9 A;

I C = I Aexp(j1200) = 2,48exp(-j38,70)exp(j1200) = 2,48exp(j83,30) = 0,37 + j2,45 A.

Искомые напряжения U ав, U вс и U са определяют по исходной цепи, составляя уравнение II закона Кирхгофа для соответствующего контура

U ав = I A Z Н - I В Z Н = (I A - I В) Z Н = (1,94 – j1,55 + 2,31 + j0,9)×50exp(j36,90) =
= 214,71exp(j28,20) = 189,21 + j101,5 B;

U вc = U авexp(-j1200) = 214exp(j28,20)exp(-j1200) = 214,71exp(-j91,80) =
= - 6,71 – j214,6 B;

U ca = U авexp(j1200) = 214exp(j28,20)exp(j1200) = 214,71exp(j148,20) =
= - 182,5 + j113,11 B.

Определим активную, реактивную и полную мощности трехфазного источника энергии при отсутствии в цепи конденсаторов.

Полная мощность

S = 3UAIA = ВА.

Активная

P = S×cosjA = 945×cos[0 – (-38,70)] = 737,5 Вт.

Реактивная

Q = S×sinjA = 945×sin[0 – (-38,70)] = 590 ,8 вар.

Здесь jA – угол между вектором напряжения U A и вектором тока I A.

 

ЗАДАЧА 2. Определить значения емкостей конденсаторов, при которых угол между напряжением U a и током I A будет равен j.

Построим векторную диаграмму токов фазы А (рис. 14), предполагая известным вектор напряжения U a.

 

 
 

 


Рис. 14. Схема замещения одной фазы трехфазной цепи

 

Уменьшим все стороны диаграммы в Ua раз. Из полученного треугольника проводимостей следует (рис. 15)

Yнcosjн = Yнсcosj

Yнsinjн = Yнсsinj+Yc

Здесь Yн = ; Yc = - проводимость ветви с емкостью,

Yнс - проводимость двух параллельных ветвей: нагрузки и емкости

(рис. 14).

 
 

 


Рис. 15. Векторная диаграмма токов и треугольник проводимостей

 

Из первого уравнения последней системы уравнений

YНС =

Из второго –

YC = YНsinjн - YНCsinj = YНsinjн - ×sinj.

Учитывая, что sinjн = ; cosjн = , получим:

YC = wсl = (xн - Rнtgj),

где ZН2 = R Н2 + x Н2 = 402 + 302 = 2500 Ом2.

Из последнего уравнения

сl = мкФ.

Так как в исходной цепи конденсаторы соединены в треугольник, то

С = мкФ.

 

ЗАДАЧА 3. Решить задачу 1 при наличии в цепи конденсаторов.

Найдем емкостное сопротивление конденсатора в схеме замещения

(рис. 14).

Ом.

Сопротивление двух параллельных ветвей: xcl и нагрузки Zн

Z нс =

= 55, 8 + j19,24 Ом.

Общее сопротивление фазы А

Z = jxл + Z нс = j×2 + 55,8 + j×19,24 = 55,8 + j×21,24 = 59,78exp(j20,80) Ом.

Ток фазы А

I A = A.

Токи фаз В и С

I B = I A exp(-j1200) = 2,12×exp×(-j20,80)×exp×(-j1200 ) = 2,12×exp×(-j140,80) =

= - 1,647 - j × 1,342 A;

I C = I A× exp(j×1200)= 2,12×exp×(j20,80)×exp(j1200) = 2,12×exp×(j99,20) =

= - 0,34 + j × 2,097 A.

Напряжение на параллельных ветвях фазы А

U a = I A Z нс = 2,12×exp×(-j20,80)×59,1exp(j190) = 125,56×exp×(-j1,80) =

= 125,5 – j × 3,97 B.

Напряжения U в и U с

U в = U a exp(-j1200) = 125,56×exp×(-j1,80)×exp×(-j1200) = 125,56×exp×(-j124,80) =

= - 66,18 - j × 106,69 B;

U с = U a× exp(j×1200) = 125,56×exp×(-j1,80)×exp×(j1200) = 125,56×exp×(j118,20) =

= - 59,31 + j × 110,66 B.

Ток нагрузки фазы а

I a = A;

Токи фаз в и с

I в = I а exp(-j1200) = 2,51×exp×(-j38,70)×exp×(-j1200) = 2,51×exp×(- j158,70) =

= - 2,34 - j × 0,91 A;

I с = I а× exp(j×1200)= 2,51×exp×(- j38,70 exp(j1200) = 2,51×exp×(j81,30) =

= 0,38 + j × 2,48 A.

Линейные напряжения трехфазного приемника

U ав = U aU в = 125,5 - j×3,97 – (- 66,18 - j×106,69) = 191,68 + j×102,72 =

= 217,47exp(j28,20) B;

U вc = U aв exp(-j1200) = 217,47exp(j28,20)×exp(-j1200) = 217,47exp(-j91,80) =

= - 6,83 – j217,36 B;

U ca = U aв exp(j1200) = 217,47exp(j28,20)×exp(j1200) = 217,47exp(j148,20) =

= - 184,83 + j114,6 B.

Для определения токов в конденсаторах найдем емкостное сопротивление конденсатора в исходной цепи

xc = 3xcl = 3×154,06 = 462,2 Ом.

Токи конденсаторов

I ав = A;

 

I вc = I ав exp(-j1200) = 0,47×exp×(j118,20)×exp×(-j1200) = 0,47×exp×(-j1,80) =

= 0,47 - j × 0,014 A;

I сa = I ав exp(j1200) = 0,47×exp×(j118,20)×exp×(j1200) = 0,47×exp×(-j121,80) =

= - 0,25 - j × 0,399 A.

 

Тема 4. Несинусоидальные периодические токи и напряжения.

Решения задач по несинусоидальным токам и напряжениям рассматриваются на примере цепи, изображенной на рис. 16, в которой

С =80 мкФ, R = 10 Ом, Um = 20 B, t = 1 мс, Т = 5 мс.

На вход цепи подано напряжение u1(t), заданное графиком, приведенным на рис. 17.

 


Рис. 16. Схема цепи к задаче 5 Рис. 17. График напряжения

 

ЗАДАЧА 4. Разложить функцию u1(t) в ряд Фурье до пятой гармоники включительно, используя табличное разложение.

Записываем табличное разложение [6] для напряжения u1(t) (рис.17)

u1(t) =

где к - номер гармоники; U0 – постоянная составляющая,

Подставляя числовые значения, получим

u1(t) = 4 + 7,48sin(wt+540) + 6,05sin(2wt +180) + 4,04sin(3wt -180) +

+ 1,87sin(4wt -540) + 1,3×10-8sin(5wt -900) B.

 

Определим комплексную амплитуду напряжения на выходе цепи рис.16 в общем виде через параметры цепи и входное напряжение u в режиме холостого хода.

Из схемы заданной цепи (рис. 16) следует:

U 2m =

Здесь первый сомножитель в формуле – ток на входе цепи, второй сомножитель – общее сопротивление цепи на участке ас.

Упростим полученное выражение:

U 2m = U 1m ×

 

ЗАДАЧА 5. Используя выражение, полученное в задаче 4, определить постоянную составляющую, первую, вторую и третью гармоники напряжения u2(t) на выходе схемы при холостом ходе.

а) Постоянная составляющая.

Так как конденсаторы на постоянном токе имеют бесконечные сопротивления, то

U2(0) = U1(0) = 4 B.

Здесь и далее верхний индекс в скобках – номер гармоники.

б) Первая гармоника

Ом; U 1m(1) = 7,48exp(j540) В;

U 2m(1) = 7,48exp(j540

= 6,22exp(j15,20) = 6 + j×1,63 В.

 

в) Вторая гармоника

= Ом; U 1m(2) = 6,05×exp(j180) В;

U 2m (2) = 6,05×exp(j180

= 3,6×exp(-j45,60) = 2,52 – j2,57 B.

 

г) Третья гармоника

Ом; U 1m(3) = 4,04exp(-j180) B;

U 2m(3) = 4,04exp(-j180 = 1,76exp(-j97,20) = -0,22 – j1,74 B.

Запишем мгновенное значение напряжения u2(t) в виде разложения в ряд Фурье (по данным задача 5):

 

u2(t) = 4 + 6,22sin(wt + 15,20) + 3,6sin(2wt – 45,60) + 1,76sin(3wt – 97,20) B.

 

 

Тема 5. Четырехполюсники.

 

Решения следующих задач по четырехполюсникам рассматриваются на примере цепи (рис. 16), в которой R = 10 Ом, Хс = 39,8 Ом.

 

ЗАДАЧА 6. Найти коэффициенты А, В, С для схемы четырехполюсника (рис. 16).

Для определения требуемых коэффициентов запишем уравнения четырехполюсника типа ²А²:

U 1 = AU 2 + BI 2

 

I 1 = CU 2 + DI 2

 

Рассматривая цепь в режиме холостого хода при I 2 = 0 из уравнений следует

A = C = .

При определении A можно воспользоваться результатами задачи 4:

A = = 1,2exp(j38,80) =

= 0,94 + j0,75;

Для определения коэффициента С найдем U, предполагая, что ток I1 известен:

U 2 = I 1 × .

Тогда

С = 0,05exp(j97,20) =

= - 0,0063 + j0,05 См.

Рассматривая цепь в режиме короткого замыкания при u 2 = 0 из уравнений четырехполюсника типа "А" следует:

B =

Найдем ток I 2

I 2 =

Здесь первый сомножитель в формуле – ток I 1; второй сомножитель – общее сопротивление цепи между точками а и с; числитель третьего сомножителя – общее сопротивление на участке вс.

Упростим полученное выражение:

I 2 =

 

Тогда В = =

= 31,04exp(j18,90) = 29,37 + j10,05 Ом.

 

ЗАДАЧА 7. Найти характеристическое сопротивление четырехполюсника. Так как заданный четырехполюсник симметричен, то

 

Z c =

= 19,21 – j15,63 Ом.

Найдем напряжение U 1 и ток I 1, а также входное сопротивление Z вх, если ток нагрузки I 2 = 1 A, а сопротивление нагрузки Z н = Z c

Из уравнений четырехполюсника типа "А", учитывая, что U 2 = I 2 Z c,

получим

U 1 = АU 2 + BI 2 = АI 2 Z c + BI 2 = (AZ c + B) I 2 ;

I 1 = CU 2 + DI 2 = C I2 Z c + AI 2 = (CZ c + A)I2.

Подставляем числовые данные

U 1 = [1,2exp(j38,80)×24,8exp(-j39,10) + 29,37 + j10,05]×1 =

= (29,78 – j0,16 + 29,37 + j10,5) = 59,16 + j9,89 = 59,98exp(j9,50) B;

I 1 = [0,05exp(j97,20)×24,8exp(-j39,10) + 0,94 + j0,75]×1 =

= 0,663 + j1,06 + 0,94 + j0,75 = 1,6 + j1,817 = 2,42exp(j48,6) A;

Z вх = Ом.

Тема 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

В общем случае можно рекомендовать следующую схему расчета переходных процессов классическим методом:

1.1. Записывается система дифференциальных уравнений для мгновенных значений ЭДС, напряжений, токов по 1-му и 2-му законам Кирхгофа для переходного (послекоммутационного) режима. Напряжения на емкостных элементах при этом предпочтительно записывать в виде , где первое слагаемое является напряжением на емкости в момент коммутации, а второе – дополняющее напряжение в течение переходного процесса.

1.2. Составляется характеристическое уравнение либо по Zвх (р) = 0, либо путем алгебраизации уравнений (в случае наличия индуктивных связей). Уравнение можно записать относительно любой ветви.

1.3. Определяются корни характеристического уравнения и в зависимости от их количества и вида записывается выражение для переходных токов или напряжений в виде суммы принужденных и свободных составляющих.

При характеристическом уравнении 1-го порядка:

iк = iкпр + Аexp(pt),

для 2-го порядка при вещественных различных корнях:

iк = iкпр + А1×exp(p1t) + А2×exp(p2t),

для 2-го порядка при вещественных одинаковых корнях:

iк = iкпр + (А1 + А2t)×exp(pt),

для 2-го порядка при комплексных сопряженных корнях p1 = -a + jw и

p2 = -a - jw

iк = iкпр + К exp(-at)×sin(wt + j)

где постоянными интегрирования являются величины К и j.

1.4. Определяются принужденные величины и подставляются в выражения для искомых переходных величин. Расчет ведется обычными методами анализа установившихся режимов.

1.5. Расчетом документационного установившегося режима определяются начальные (при t =0) значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях – независимые начальные условия.

1.6. Независимые начальные условия, определенные п.1.5., подставляются в исходные дифференциальные уравнения, записанные для

t = 0. Из полученной таким образом системы алгебраических уравнений определяются необходимые значения токов и их производных при t = 0. Недостающие значения определяются повторным дифференцированием исходных дифференциальных уравнений и записью их при t = 0 с учетом ранее определенных величин.

1.7. Записываются выражения переходных токов (или напряжений) и их производных до (n – 1)-го порядка (n – порядок цепи) в общем виде для t = 0, в которые подставляются их значения, определенные в п.1.6.

1.8. Из полученных таким образом алгебраических уравнений определяются постоянные интегрирования и записываются окончательные выражения для искомых переходных величин.

 

ЗАДАЧА 1.

Даны параметры элементов цепи (рис. 18): R1 = 100 Ом; R2 = 100 Ом;

R3 = 100 Ом; R4 = 500 Ом; L = 45,1 мГн; С = 7,38 мкФ; Е = 100 В.

Определить переходное напряжение U3(t).

 
 

 

 


Рис. 18.

 

1. Запись уравнений законов Кирхгофа для переходного процесса. Для этого предварительно следует выполнить расчет докоммутационного установившегося режима с целью определения независимых начальных условий Uc (0) и iL (0) (рис. 19).

А

UC = R2×IL =14,3 B

 
 

 

 


Рис. 19.

 

В соответствии с законами коммутации:

UC(0+) = UC = 14,3 B

IL(0+) = IL = 0,143 A

Расчет выполняется далее по схеме при замкнутом ключе (рис. 20).

 

 
 

 


Рис. 20

 

На ней обозначены направления токов после коммутации, а также учтены:

UC(0+) = 14,3 B

i3(0+) = 0,143 A

Уравнения законов Кирхгофа:

UC(0) + R2i2 = 0

R2i2 + R3i3 + L

i3 – i1 – i2 = 0

 

2. Характеристическое уравнение удобнее записать для ветви с емкостью:

Его решение

P1 =-1000 с-1, p2 =-3000 с-1

 

3. В соответствии с полученными корнями

i3 = i3пр + А1exp(p1t) + А2exp(p2t).

 

4. Рассчитываем принужденную составляющую тока i3:

i3пр =



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-07-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: