Дискретная случайная величина
Определение: случайной называют величину, которая в результате примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Пример 1.
Число родившихся мальчиков среди ста новорождённых есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0,1,2 …..100.
Пример 2.
Расстояние, которое пролетит заряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры, и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежать некоторому промежутку (а, в).
Определение: дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные, возможные значения с определенными вероятностями.
Закон распределения вероятностей ДСВ
Пусть Х, У, Z – случайные величины, а х, у,z- их возможные значения соответственно, р – вероятность появляется случайного значения.
Пример:
Случайная величина Х имеет 3 возможных значения: х1, х2,х3.
Определение: законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Табличный способ
| Х | Х1 | Х2 | …. | Хn |
| Р | Р1 | Р2 | …. | Pn |
Графический способ
Для наглядности в прямоугольной системе координат строят точки (хi, pi), а затем соединяют их отрезками. Полученная фигура называется многоугольником распределения.
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что событие Х= х1, Х=х2, …., Х=хn образуют полную группу => сумма вероятностей этих событий равна единице.
p1+ р2 + … + рn =1
Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд p1+ р2 + … сходятся и его сумма равна единице.
Пример:
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по 1 рублю. Найти закон распределения случайной величины. Х – стоимость возможного выигрыша для владельца одного
Решение.
Напишем возможные значения Х: х1=50,х2=1,х3=0.
Вероятности этих возможных значений таковы: р1= 1/100=0,01; р2= 10/100=0,1; р3=89/100=0,89.
Напишем искомый закон распределения
| Х | |||
| Р | 0,01 | 0,1 | 0,89 |
Проверка:
0,01+0,1+0,89=1
Аналитический способ. Биноминальное распределение. Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний.
А- событие, которое может либо появиться, либо нет.
Р- вероятность появления А.
q- вероятность не появления А =>q= 1-р.
Рассмотрим в качестве ДСВ Х число появлений события А в этих испытаниях.
Найдем закон распределения величины Х. Для этого потребуется определить возможные значения Х и их вероятности.
Возможные значения: х1=0,х2=1,х3=2 …, хn+1=n
Вероятности возможных значений определяются по формуле:
Рn(k)=Cnkpkqn-k, где k=0,1,2, …, n – (*) Формула Бернулли.
(*)- является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона. Биноминальный закон в виде таблицы:
| Х | n | n-1 | … | k | … | |
| Р | p | npn-1q | … | Cnkpkqn-k | … | qn |
Распределение Пуассона
В случаях, когда n велико (либо стремится к бесконечности), а р- мало, пользуются формулой Пуассона:
Pn(k)= ٨ kе- ٨ /k!, где ٨ = np
Пример:
Монетка брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х- числа выпадений «орла».
Решение.
1.Вероятность появления «орла» в каждом бросании монеты р=½, следовательно, вероятность появления «орла» q=1-½=½.
2.При двух бросаниях монеты, «орел» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо не появиться вообще. Таким образом, возможные значения Х таковы: х1=2, х2=1, х3=0.
3.Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
P2(2)=C22p2=(½)2=0,25
P2(1)=C21pq=2*(½)*(½)=0,5
P2(0)=C20q2=(½)2=0,25
Напишем искомый закон распределения:
| Х | |||
| Р | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Проверка:
0,25+0,5+0,25=1
Числовые характеристики случайных величин
Определение: числа, которые описывают случайную величину, суммарно называют числовыми характеристиками СВ.
К характеристикам распределения случайной величины относятся:
Математическое ожидание
Определение: математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Обозначается М(х).
М(х)=х1р1+х2р2+…+хnpn
Если дискретная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то:
М(х)=∑i=1∞xipi
Причем, математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Пример:
Найти математическое ожидание СВ Х, зная закон ее распределения:
| Х | |||
| Р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Решение.
Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
М(х)=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9
Свойства математического ожидания
1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С
Доказательство:
Будем рассматривать С как ДСВ, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. =>М(С)=С*1=С ч т.д.
2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. М(СХ)=СМ(Х)
Доказательство:
Пусть
| Х | Х1 | Х2 | … | Хn |
| Р | Р1 | Р2 | … | Pn |
При этом
| СХ | Сх1 | Сх2 | … | Схn |
| Р | Р1 | Рх2 | … | Pn |
М(СХ)=Сх1р1+…+Схnpn=C(x1p1+…+xnpn)=CM(X)
Ч т.д.
3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)М(У)
Определение: Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае СВ – зависимы.
4.Математическое ожидание суммы двух СВ равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х+У)=М(Х)+М(У)
Следствие: математическое ожидание суммы нескольких СВ равно сумме математических ожиданий слагаемых.
М(X+Y+Z)= M(X)+M(Y)+M(Z)
Дисперсия
Определение: разность между СВ и ее математическим ожиданием называют отклонением. Х-М(Х).
Теорема.
Математическое ожидание отклонения равно 0.
М[Х-М(Х)]=0
Доказательство.
М(Х)- постоянная величина=> М[Х-М(Х)]= М(Х)- М[М(Х)]= М(Х)-М(Х)=0
Определение: дисперсией ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема.
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.
D(X)=M(X2)-[M(X)]2
Доказательство:
М(Х)- постоянная величина => 2М(Х) и М2Х – постоянные величины.
М[Х-М(Х)]2=М[Х2-2ХМ(Х)+М2(Х)]=М(Х2)-2М2(Х)+ М2(Х)= М(Х2)- М2(Х)
Ч т.д.
Пример:
Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
| Х | |||
| Р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Решение:
Найдем математическое ожидание М(Х).
М(Х)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5
Напишем закон распределения случайной величины Х2:
| Х2 | |||
| Р | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Найдем математическое ожидание М(Х2).
М(Х2)=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3
Искомая дисперсия: D(X)=M(X2)-[M(X)]2=13,3-(3,5)2=1,05
Свойства дисперсии
1.Дисперсия постоянной величины равна 0: D(C)=0
Доказательство:
По определению дисперсии =>D(C)=M{[C-M(C)]2}=>D(C)=M[(C-C)2]=M(0)=0
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX)=C2D(X)
3.Дисперсия суммы 2-х независимых СВ равнысумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y)
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и СВ равна дисперсии СВ. D(C+X)=D(X)
4.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y)