Контрольная № 9 содержит 2 задания.
Задание 1. В урне находится а белых и b черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:
а) первый шар возвращают в урну
б) первый шар не возвращают в урну.
Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике 
стандартных и 
нестандартных деталей. Во втором ящике 
стандартных и 
нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная.
Варианты значений параметров контрольных заданий
| № вар. Значение | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|
| ||||||||||
| ||||||||||
|
|
Контрольная работа № 10
Тема: «Теория вероятностей. Случайные величины»
Краткая теория и методические указания.
2. Случайные величины (СВ)
Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.
Функция распределения 
. Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом 
.
1.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале 
равна 
.
Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные точки числовой оси.
1.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений
| 
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| 
| … | 
|
В первой строке таблицы указаны все значения х ДСВ Х, а во второй строке – вероятности принятия значения . 
.
1.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой 
. 
.
График 
представляет собой ступенчатую линию.
Непрерывные случайные величины (НСВ). Значениями НСВ могут быть любые точки какого-то интервала на числовой оси.
1.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения 
, 
.
1.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле 
. График НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. 
.
1.4.3 Площадь под графиком равна 1, так как 
.
1.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале 
равна 
. При 
. Вероятность отдельного значения равна нулю.
3. Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание 
– это среднее значение совокупности значений СВ.
Для ДСВ 
, для НСВ 
Дисперсия 
характеризует степень разброса значений СВ от своего среднего значения 
. Пусть 
.
Для ДСВ: 
, для НСВ: 
.
Среднее квадратическое отклонение 
. 
– это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.
4. Нормальное распределение
Обозначается 
, где 
и 
– параметры нормального распределения, 
.
Функция плотности вероятностей 
. определена на всей числовой оси, ; 
. Функция достигает при 
максимума, равного 
и имеет точки перегиба в точках 
и 
. При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается.
Математическое ожидание 
, дисперсия 
.
Функция распределения 
.
Нормированное нормальное распределение 
. 
– функция Гаусса,
– функция Лапласа. 
. Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для 
. При этом 
, 
.
Вероятность того, что 
примет значения в интервале 
.