Двухосное растяжение толстой пластины, ослабленной круговым отверстием

ГЛАВА II

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
В КЛАССЕ ЗАДАЧ ГАЛИНА – ИВЛЕВА
ДЛЯ EVP СРЕД

В этой главе в рамках метода малого параметра решена задача типа Галина о двухосном растяжении толстой пластины, ослабленной круговым, отверстием. Рассмотрен случай плоской деформации. Материал в пластической области описывался уравнениями упрочняющегося упруго-вязкопластического тела (1.1.2)−(1.1.5). Рассмотрен случай активного нагружения, при этом предполагалось, что пластическая зона полностью охватывает контур отверстия.

Найдено два приближения для полей напряжений в упругой и пластической области и контура упругопластической границы. Поле перемещений в двух итерациях построено для задачи Л.А. Галина. Определена зависимость радиуса упругопластической границы от нагрузок. В качестве параметра нагружения принимался радиус упругопластической границы нулевого приближения .

§1. Напряженно − деформированное состояние кольцевой пластины, нагруженной в своей плоскости

Построение приближенного решения рассматриваемой далее задачи требует выбора нулевого приближения. В качестве нулевого приближения будем выбирать решение задачи типа Ламе (при ), которое приводим здесь, следуя [2]. Рассматривается бесконечная круговая труба радиусов a и (), подверженная действию равномерного внешнего и внутреннего давления рис.1.2.

Рис. 1.2

Материал трубы − несжимаемый, упруговязкопластический упрочняющийся. В качестве определяющих соотношений принимаются соотношения теории упрочняющегося упруговязкопластического материала [2], приведенные в § 1 этой главы. Решение приводится для плоской деформации, используется цилиндрическая система координат . Все соотношения записываются в безразмерном виде. За масштаб напряжения выбран предел текучести при чистом сдвиге, за масштаб длины − радиус упругопластической упрочняющейся границы (расположенный между внутренним и внешним контуром трубы).

Граничные условия задачи таковы:

при

, ; (2.1.1)

при

, .

На упругопластической границе напряжения и перемещения считаются непрерывными.

При указанных граничных условиях и условиях сопряжения на упругопластической границе распределение напряжений в пластической зоне имеет вид ( )

, (2.1.2)

, , .

В упругой зоне

; ; . (2.1.3)

Перемещения и полные деформации в упругой и пластической зонах определяется по одним и тем же формулам:

, ,

, . (2.1.4)

Пластические деформации определяем так

= = , . (2.1.5)

Зависимость радиуса упругопластической границы от внешних усилий описывается уравнением

. (2.1.6)

Упругопластическая граница расположена между и , если

. (2.1.7)

В случае осесимметричного растяжения пластины с круговым отверстием (), уравнение для определения упругопластической границы имеет вид

. (2.1.8)

Распределение напряжений в упругой зоне при этом имеет вид

; ; . (2.1.9)

Полученное решение принимаем в качестве нулевого приближения решаемых далее задач.

Двухосное растяжение толстой пластины, ослабленной круговым отверстием

В этом параграфе приведено решение классической задачи Л.А. Галина [1]. Рассмотрим бесконечную толстую пластину с круговым отверстием радиуса a (рис.2.1).

Рис. 2.1

На бесконечности действуют взаимно перпендикулярные растягивающие усилия интенсивностями и . По контуру отверстия действует нормальное давление . Исследуем случай плоской деформации. Величины, имеющие размерность длины, отнесем к − радиусу упругопластической упрочняющейся границы, а величины, имеющие размерность напряжения, к пределу текучести при чистом сдвиге, как и в §1 гл.II.

Введем малый параметр , полагая ,

где − ограниченная величина.

Используем цилиндрическую систему координат, начало которой совпадает с центром отверстия. Тогда на бесконечности радиальные и касательные напряжения будут определяться формулами

, (2.2.1)

где .

На контуре отверстия () имеем

. (2.2.2)

Решение задачи ищем вблизи невозмущенного осесимметричного состояния ( = 0), когда пластическая зона полностью охватывает контур .

Так как граничные условия на внутреннем контуре и уравнения контура отверстия не содержат малого параметра , то из (2.2.1) следует при

. (2.2.3)

Согласно описанному в §3 первой главы алгоритму найдем первую итерацию первого приближения.

Используя (1.4.5), находим правую часть уравнения (1.4.7)

. (2.2.4)

Определяя решение уравнения (1.4.7) и учитывая граничные условия (2.2.3), находим компоненты напряжений в пластической зоне для первой итерации

, , . (2.2.5)

Нижний индекс в скобках указывает номер итерации.

Из уравнений (2.2.1) следует, что напряжения первого порядка в упругой зоне на бесконечности имеют вид

. (2.2.6)

Из условий сопряжения компонент тензора напряжений [1] следует, что на невозмущенной упругопластической границе

. (2.2.7)

Учитывая, что (следствие уравнения равновесия), находим, что при ρ= 1

, , (2.2.8)

где .

Из (2.1.7) следует

. (2.2.9)

Компоненты тензора напряжений и вектора перемещений первого порядка первой итерации в упругой зоне () при условиях (2.2.8) и (2.2.6) имеют вид

, (2.2.10)

, .

Из соотношения (2.2.9), используя (2.2.5) и (2.2.10), находим

. (2.2.11)

Из условия сопряжения для перемещений при ρ= 1 имеем

, . (2.2.12)

Равенства и в пластической области приводят к тому, что правая часть (1.4.12) равняется нулю. Решение однородного уравнения (1.4.12) при условиях (2.2.12) приводит к следующим выражениям для перемещений в пластической зоне

, (2.2.13)

, (2.2.14)

где

Так как известны выражения для напряжений и перемещений первого приближения (первой итерации), то можно определить из (1.1.2), (1.1.3), (1.1.6) компоненты пластических деформаций в форме

. (2.2.15)

Таким образом, найдены компоненты напряжений и перемещений первой итерации в первом приближении.

Теперь найдем вторую итерацию первого приближения.

Согласно (2.2.15), правая часть уравнения (1.3.7) имеет вид

(2.2.16)

Решая уравнение (1.3.7) и учитывая при этом граничные условия на контуре отверстия (2.2.3), получим выражения компонент тензора напряжений в пластической зоне

(2.2.17)

(2.2.18)

(2.2.19)

где ,

На бесконечности граничные условия имеют вид (2.2.6), а на упругопластической границе () условия сопряжения имеют вид (2.2.7). Откуда при получаем следующие условия сопряжения

, (2.2.20)

где

Соотношение для радиуса упругопластической границы имеет вид (2.2.9).

С учётом граничных условий (2.2.6) и (2.2.20) приходим к выражениям для компонент тензора напряжений и вектора перемещений в упругой зоне

, (2.2.21)

. (2.2.22)

Из соотношения (2.2.9) находим уравнения для определения радиуса упруго-пластической границы во второй итерации

(2.2.23)

Учитывая, что условия сопряжения имеют вид (2.2.7), то при находим

. (2.2.24)

Во второй итерации правая часть уравнения (1.3.12) отлична от нуля и имеет вид

. (2.2.25)

Для определения , подставив (1.4.5) в (1.3.14), получим

. (2.2.26)

Откуда следует, что в процессе нагружения рассматриваемая частица тела переходит в пластическое состояние в момент прохождения через нее упругопластической границы, что соответствует . Следовательно, в процессе пластического деформирования безразмерный радиус в точке будет изменяться от 1 до некоторого значения , соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий.

Полученное соотношение (2.2.26) позволяет в выражении (2.2.25) перейти от интегрирования по к интегрированию по . Выполняя интегрирование (2.2.25), получим

. (2.2.27)

Решая (1.3.12) с известной правой частью (2.2.27), получим следующие выражения для компонент вектора перемещений в пластической зоне во второй итерации

, (2.2.28)

Постоянные и , входящие в (2.2.28), находятся из граничных условий (2.2.24) и имеют вид

Таким образом, первое приближение (в двух итерациях) поставленной задачи Л.А. Галина с круговым отверстием для EVP среды определено. Очевидно, что, полагая в приведенных выше соотношениях с = 0 и , приходим к результатам работы Ивлева – Ершова [1], соответствующим идеально пластическому материалу. При , − к результатам, соответствующим упругопластическому материалу с произвольным упрочнением. Если положить с<<1 и , то получим результаты, соответствующие упругопластическому материалу с малым упрочнением.

Из полученных соотношений (2.1.5) для первой итерации следует, что характер нагрузки, действующей на бесконечности, не сказывается на распределении напряжений в пластической зоне. Очевидно, это является следствием того, что задача для определения напряжений в пластической зоне локально статически определима, а все граничные условия для задачи формулируются на свободной границе (соотношения (2.1.3)).

Рис. 2.2

Заметим также, так как компонента в пластической зоне равняется нулю, что обусловлено видом граничных условий (2.2.3), то , и поэтому в первой итерации для несжимаемого упруго-вязкопластического материала с произвольным линейным упрочнением соотношения теории течения простейших сложных сред и деформационной теории приводят к одному и тому же результату.

Во второй итерации в пластической зоне, и соотношения для компонент перемещений (2.2.28) при использовании теории течения сложных сред иные, нежели при использовании деформационной теории.

Из полученных выражений (2.2.17)-(2.2.19) следует, что они содержат слагаемые, обусловленные влиянием характеристик материала: модуля сдвига, вязкости, упрочнения и внешних нагрузок.

Результаты численного анализа представлены на рис.2.2 и рис.2.3. Здесь показана зависимость радиуса упругопластической границы от угла . При этом значения безразмерных характеристик принимались следующими: внутреннее давление на контуре =1,7; малый параметр =0,17; коэффициент упрочнения с = 0,2 и = 0,001; модуль сдвига ; радиус отверстия = 0,7.

Рис. 2.3

Замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия.
Замкнутые кривые 2 − 4 характеризуют положение упруго-пластической границы в моменты времени t =1∙10^-4− кривая 2; t= 2∙10^-4 − кривая 3; t =3∙10^-4 − кривая 4, соответственно.

С возрастанием времени, как показал численный анализ, кривая 4 практически совпадает с кривой 5, которая соответствует упрочняющейся упругопластической задаче. Следовательно, имеет место ограниченная ползучесть. Таким образом, наличие вязкости при упругопластических деформациях увеличивает площадь пластической зоны в зависимости от времени. В этом смысле можно говорить о дестабилизирующей роли вязкости в среде. Приведенные кривые 2 − 5 соответствуют первой итерации. Учет второй итерации приводит к тому, что кривые практически совпадают (рис.2.3).

§3. Двухосное растяжение тонкой пластины, ослабленной эллиптическим отверстием,
с учетом трансверсальной анизотропии материала

Для рассматриваемого материала условие текучести Мизеса для листовых материалов в координатах x, y, расположенных в плоскости листа, примет вид:

(2.3.1)

где − коэффициент анизотропии, равный отношению деформации по ширине растягиваемых образцов к деформации по толщине;

- предел текучести при растяжении в плоскости листа.

Условие (2.3.1) соответствует в плоскости главных напряжений эллипсу (см. рис.3. 1).Для конкретного решения задач принимается линейное условие, которое на рисунке 3.1 описывается шестиугольником ABCDEF.

Построим шестиугольник, с вершинами ; ; , что совпадает с экспериментальными данными на растяжение-сжатие или равномерное нагружение плоскости листа
(см. рис. 3.1).

Рис. 3.1 Условие текучести для листовых материалов.

Выпишем уравнения сторон полученного шестиугольника:

AB: (2.3.2)

BC: (2.3.3)

CD: (2.3.4)

DE: (2.3.5)

EF: (2.3.6)

FA: (2.3.7)

где .

Рассматривается бесконечная плоскость с эллиптическим отверстием с полуосями a(1+c) и a(1-c), растягиваемая на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями p1 и p2 (p1>p2), контур отверстия свободен от нагрузок.

Положим

, , (2.3.8)

где постоянные , принимают значения в интервале

Из анализа напряжённо-деформированного состояния плоскости следует, что пластическое состояние будет возникать вблизи отверстия, где имеет место условие:

(2.3.9)

здесь , где r -коэффициент анизотропии, равный отношению деформаций по толщине к деформации по ширине при растяжении образцов. Для изотропного материала r=1 и .