Компьютерное моделирование

Кафедра «Охрана окружающей среды

И рациональное использование

Природных ресурсов»

 

Лабораторная работа № 3

по дисциплине «Экологическое моделирование»

«Компьютерное моделирование обобщенного уравнения Мальтуса»

 

Выполнили: ст.гр. ОД- 3 Захарова Ю.В., Исламова Р.А., Мулюкова А. Р.,

Данилова Д. А., Севрюкова М. А., Севрюкова И. А.,

Гибатов Р. Ю., Гумерова Э. Г., Шаймарданова Ю. Ю.

Проверил: д.ф-м. н. И.Л. Хабибуллин

Уфа

Теоретический анализ

Рассмотрим динамику популяции, описываемую следующей задачей:

(1)

Если х- численность (биомасса) популяции, ε – коэффициент естественного прироста, при задача (1) представляет собой модель Мальтуса, которая описывает динамику однородной популяции, развивающейся а условиях неограниченных ресурсов.

Функция описывает ограничение роста популяции за счёт внешних воздействий. Если рассматривается промысловая популяция, величину можно трактовать как интенсивность промысла (количество особей или биомассы изымаемое за единицу времени).

Для экосистем подверженных интенсивному промыслу, величину можно интерпретировать как функцию ингибирования популяции (например, отравления и гибель популяции за счёт загрязняющих веществ). При этом может быть

σf/σt<0 – например, ингибирующее влияние уменьшается за счёт самоочищения экосистем;

σf/σt>0 – например, рост ингибирующего влияния за счёт распространения болезней (эпидемия, пандемия);

σf/σt=0, f=const – стационарное ингибирующее влияние (например, самоочищение не происходит или происходит очень медленно).

Уравнение (1) – линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение задачи (1) имеет вид:

(2)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

а)

при этом решение (2) имеет вид:

(3)

Из (3) следует, что

при , при ,

при

Поскольку отрицательная численность (биомасса) не имеет смысла, то условием существования решения (3) является

Из (3) имеем:

Из этого выражения следует, что:

, при =t’

, при

, при

Таким образом, функция x(t), определяемая по формуле (3), является немонотонной: в интервале значение x(t) убывает от начального значения до величины x=x(), при x(t) растёт.

б) при κ=0 из (3) следует:

(4)

в) При b=0 из этого выражения следует классическая формула Мальтуса:

г) При формула (4) также описывает экспоненциальный рост численности популяции со временем, однако при этом скорость роста популяции ниже, чем в модели Мальтуса.

 

 

Компьютерное моделирование

Цель работы: построение и анализ обобщенного уравнения Мальтуса при разных значениях базовых параметров.

2.1 Построение модели при различной начальной численности популяции , при неизменных параметрах :

– коэффициент естественного прироста ( = 0,5),

– коэффициент интенсивности промысла (k = 10),

b – начальное значение интенсивности промысла (b = 50).

На рис.1 представлена зависимость x(t) при разных значениях начальной численности популяции x₀₁=4,8; x₀₂=5; x₀₃=5,2.

 

Рис.1. Зависимость численности популяции от начальной численности x₀.

При малых временах (t<t’) численность популяции х убывает до некоторого значения, затем при (t>t’) численность возрастает. Экспоненциальный рост численности возможен в условиях неограниченных ресурсов и отсутствии интенсивного промысла.

При большей начальной численности популяции скорость роста популяции больше.

2.2 Построение модели при различном начальном значении интенсивности промысла при неизменных параметрах :

– коэффициент естественного прироста ( = 0,5)

– коэффициент интенсивности промысла (k = 10)

x₀ – начальное значение численности популяции ( = 5)

На рис.2 представлена зависимость x(t) при разных значениях начального внешнего воздействия на численность популяции b₁=45; b₂=50; b₃=52.

Рис. 2 Зависимость численности популяции от начального значения интенсивности промысла

При малых временах (t<t’) численность популяции х убывает до некоторого значения, затем возрастает.

Чем больше начальные значения промысла, тем меньше скорость роста численности популяции.

2.3 Построение модели при различных коэффициентах интенсивности промысла при неизменных параметрах , :

– коэффициент естественного прироста ( = 0,5),

– начальное значение интенсивности промысла (b = 50),

x₀– начальное значение численности популяции ( = 5).

На рис.3.1 представлена зависимость x(t) при коэффициенте интенсивности промысла k₁=10.

Рис. 3.1 Зависимость численности популяции от коэффициента интенсивности промысла

На рис.3.2 представлена зависимость x(t) при коэффициенте интенсивности

промысла на численность популяции k₂=11

Рис. 3.2 Зависимость численности популяции от коэффициента интенсивности промысла

На рис.3.3 представлена зависимость x(t) при коэффициенте интенсивности промысла на численность популяции k₃=12

Рис. 3.3 Зависимость численности популяции от коэффициента интенсивности промысла

С течением времени t численность популяции х убывает до некоторого значения, затем возрастает.

Биомасса популяции не зависит от коэффициента интенсивности промысла, так как он остается постоянным.

2.4 Построение модели при различных коэффициентах естественного прироста при неизменных параметрах , :

– коэффициент интенсивности промысла (k = 10),

– начальное значение интенсивности промысла (b = 50),

x₀– начальное значение численности популяции ( = 5).

На рис.4 представлена зависимость x(t) при различных коэффициентах естественного прироста на численность популяции ε₁=0,3; ε₂=0,4; ε₃=0,5;

 

Рис.4 Зависимость численности популяции от коэффициента естественного прироста

С течением времени t численность популяции х убывает до некоторого значения, затем возрастает.

С увеличением коэффициента естественного прироста скорость роста биомассы популяции быстро возрастает.

Заключение

В данной лабораторной работе рассмотрели зависимость численности популяции от различных значений базовых параметров:

-начальной численности ,

-коэффициента естественного прироста ε,

-коэффициента интенсивности промысла k.

- начального значения интенсивности промысла b.

В ходе компьютерного эксперимента было построено и проанализировано обобщенное уравнение Мальтуса при разных значениях базовых параметров. Таким образом, модель Мальтуса описывает динамику однородной популяции, развивающейся в условиях неограниченных ресурсов.