Цель занятия: знакомство студентов с задачами линейного программирования.
Задачи занятия:
- изучение формы моделей задачи линейного программирования (ЗЛП);
- получение навыка решения ЗЛП в среде EXCEL
По оценкам специалистов примерно 80–85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам линейного программирования.
Созданный математический аппарат в сочетании с компьютерными программами, производящими трудоемкие расчеты, позволяет широко использовать модели линейного программирования в экономической науке и практике.
Определение 1 [1] . Линейное программирование (ЛП) – это область математического программирования, изучающего методы поиска экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции конечного числа переменных, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.
Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые представляют количественные соотношения между переменными, выражающие условия и требования экономической задачи и математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.
К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.
Общая задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении экстремального значения (максимума или минимума) линейной функции, называемой целевой:
(1)
от n переменных x1, x2, …, хn при наложенных функциональных ограничениях:
(2)
и прямых ограничениях (требовании не отрицательности переменных)
, (3)
где aij, bi, cj – заданные постоянные величины.
В системе ограничений (2) знаки «меньше или равно», «равно», «больше или равно» могут встречаться одновременно.
ЗЛП в более краткой записи имеет вид:
,
при ограничениях:
;
.
Вектор ` Х = (x1, x2, …, хn) компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи называют планом (или допустимым решением) ЗЛП.
Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений (ОДР). Допустимое решение, которое доставляет максимум или минимум целевой функции f (` X), называется оптимальным планом задачи и обозначается f (` X*), где `Х* =(x1*, x2*, …, хn*).
Еще одна форма записи ЗЛП:
,
где f (` X*) есть максимальное (минимальное) значение f (С, х), взятое по всем решениям, входящим в множество возможных решений R.
Методические указания
Решим задачу линейного программирования (ЗЛП) на компьютере. Пусть задана целевая функция f(х) и ограничения R:
Решаем задачу в Excel:
В ячейке А1 задаем целевую функцию:
Начинаем со знака равно. Буквой С1 и С2 обозначаем неизвестные х1 и х2. Можно С1 не набирать, а нажимать соответствующую ячейку С
В столбце В задаем левые части неравенств ограничений:
Начинаем всегда со знака равно.
Чтобы перейти в сервис Поиск решения необходимо: 1. Включить Excel.
2. Нажать Файл. Выбрать слева ячейку Параметры и нажать ее.
3. Затем найти слева ячейку Надстройки. В правой части таблицы выделить Поиск решения и нажать ячейку Перейти.
4. Опять выделить Поиск решения, поставив галочку, и нажать ОК.
5. Нажать кнопку Данные и справа вверху появится надпись
Поиск решения со стрелочкой. Выделив Поиск решения:
Выделив Поиск решения: устанавливаем целевую функцию в ячейке А1,
тип задачи: на максимум или минимум, нажав соответствующую кнопку.
Изменяемыми называются те ячейки, через которые заданы ограничения и целевая функция (в данном случае С1 и С2).Затем в Ограничения записываем с помощью ячейки Добавить знаки неравенств и правые части ограничений. Третья строка в примере условия не отрицательности переменных. Нужно записывать, если версия Excel ранее 2010 года. 
Нажав кнопку Выполнить, получим решение задачи.
Рассмотрим задачу 2 с пятью переменными:
| R= |
В ячейке А1 введем целевую функцию, в ячейках С1-5 задавая неизвестные пока значения переменных целевой функции:
В ячейке В задаем левые части неравенств системы ограничений:
Через СЕРВИС/НАДСТРОЙКИ установить Поиск решения:
Через СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ открыть окно поиска решения и выбрать А1 целевой ячейкой:
В окне «Изменяя ячейки» выбираем С1-С5 и вводим ограничения (кнопка ДОБАВИТЬ):
Нажав кнопку ВЫПОЛНИТЬ, получим решение:
При нажатии кнопки Результаты, получим отчет о результатах расчета.
Самостоятельно: 3. Найдите решение задачи: 
при ограничениях: 
.
Задание для самостоятельной работы:
1. Найдите решение задачи:
при ограничениях: 
2. Найдите решение задачи:
при ограничениях: 
[1] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учеб. пособие. 2-е изд., доп. – СПб.: Питер, 2010. – С. 17 – 18.