Задача №1
Исходная структурная схема системы автоматического управления (САУ):
Рисунок 1. Исходная структурная схема
Необходимо:
1) провести преобразования структурной схемы и определить передаточную функцию разомкнутой цепи САУ – W(p).
2) по передаточной функции W(p) построить логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ).
3) по частотному критерию Найквиста провести анализ устойчивости САУ и определить запасы устойчивости по амплитуде ΔL и по фазе Δφ.
4) по ЛАЧХ И ЛФЧХ определить показатели качества САУ – время регулирования tp и перерегулирование δ.
5) рассчитать динамическую ошибку для задающего воздействия x(t)=5+5t.
РЕШЕНИЕ
Преобразование структурной схемы
Выполним преобразование структурной схемы, т.е. разделим ее на небольшие части. Описывать такие части проще, чем систему в целом. Выделим участки на исходной схеме, подлежащие преобразованию.
Рисунок 2
Преобразуем участок с последовательно соединенными звеньями.
Рисунок 3
Для последовательного соединения звеньев:
Преобразуем следующий участок.
Рисунок 4
Преобразуем следующий участок.
Рисунок 5
Получим схему, представленную на рисунке 6, и выполним преобразование участка с местной обратной связью:
Рисунок 6
Для участков с обратной связью:
Получим схему, изображенную на рисунке 7, и проведем ее преобразование:
Рисунок 7
Получим итоговую схему:
Рисунок 8
и передаточную функцию разомкнутой цепи САУ:
Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ
Передаточную функцию линейной стационарной системы можно представить в виде произведения элементарных сомножителей, соответствующих типовым динамическим звеньям:
Передаточная функция САУ, представленная в таком виде, называется передаточной функцией в каноническом виде. Определим тип звеньев в передаточной функции: усилительное звено (
); интегрирующее звено (
); апериодическое звено (
); форсирующее звено первого порядка (
).
Функция L (ω) = 
, изображенная в полулогарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой(ЛАЧХ), а функция 
, построенная в том же масштабе, называется логарифмической фазовой частотной характеристикой(ЛФЧХ).
Полулогарифмическим называется такой масштаб, когда вдоль горизонтальной оси откладывают значение частоты 
в логарифмическом масштабе lg , а по вертикальной оси – значения L (ω) и в линейном масштабе. Единицей измерения L (ω) являются децибелы (дБ), а – радианы или градусы.
Расчеты для построения L (ω):
Определим величину 
;
Определим частоты излома:
Расчеты для построения φ(ω). Фазовая характеристика системы получается сложением фазовых характеристик типовых звеньев в соответствии с выражением: 
Можно записать:
Знак плюс соответствует множителям числителя, а минус множителям числителя формулы передаточной функции, представленной в виде произведения элементарных сомножителей.
Произведем оцифровку осей логарифмического бланка так, чтобы на горизонтальной оси умещались все частоты излома, а на вертикальной оси – усиление не менее дБ (приложение 1).
Начальный участок ЛАЧХ определяется количеством интегрирующих звеньев (в данном примере 1). Укажем точку А с координатами 
(приложение 1). Все асимптоты начального участка проходят через точку А. Через точку А строим первую асимптоту, определяемую совместным действием усилительного и интегрирующих звеньев. Для этого проводим прямую с наклоном –20дБ/дек (усилительное звено имеет наклон 0дБ/дек, интегрирующее –20дБ/дек), по ней откладываем первый отрезок до первой частоты излома 
(приложение 1). Проводим вторую асимптоту от конца первого отрезка до частоты излома 
. Ее наклон будет равен 0 дБ/дек, т.к. частота 
является частотой излома форсирующего звена первого порядка и имеет наклон +20дБ/дек (приложение 1). От частоты 
проводим третью асимптоту. Ее наклон будет равен –20дБ/дек, т.к. частота является частотой излома апериодического звена (приложение 1). Итак, ЛАЧХ построена.
Для построения ЛФЧХ составим таблицу:
| Интегрирующее звено | Форсирующее звено 1 порядка | Апериодическое звено | Апериодическое звено | Общая | |||
| 
|
|
|
|
|
|
| |
| 0,01 | 
| 0,009 | 
| 0,005 | 
| 0,01 | 
| 
|
| 0,02 |
| 0,018 | 
| 0,01 | 
| 0,02 | 
| 
|
| 0,05 |
| 0,045 | 
| 0,025 | 
| 0,05 | 
| 
|
| 0,1 |
| 0,09 | 
| 0,05 | 
| 0,1 | 
| 
|
| 0,2 |
| 0,18 | 
| 0,1 |
| 0,2 | 
| 
|
| 0,5 |
| 0,45 | 
| 0,25 | 
| 0,5 | 
| 
|
|
| 0,9 | 
| 0,5 | 
| 
| 
| ||
|
| 1,8 | 
|
| 
| 
| |||
|
| 4,5 | 
| 2,5 | 
| 
| 
| ||
|
| 
| 
| 
| 
| ||||
|
| 
|
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| 
|
| ||||
|
| 
| 
|
|
|
Построим ЛФЧХ на логарифмическом бланке (приложение 1).
Анализ устойчивости САУ
Для практического использования целесообразно так сформулировать критерий Найквиста, чтобы судить об устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам: для устойчивости замкнутой линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разомкнутой системы ЛФЧХ не пересекала уровень –180 или пересекала его четное число раз. При этом половина пересечений должна происходить сверху вниз, а половина – снизу вверх.
Из графиков следует, что по частотному критерию Найквиста система неустойчива. Чтобы обеспечить ее устойчивость, например с запасом по амплитуде 
, нужно сдвинуть ЛАЧХ вниз на 17 дБ. Тогда запас устойчивости по фазе составит 
.
Определение показателей качества САУ
Под качеством САУ понимают степень ее приспособленности выполнять свое назначение.
Для устойчивой системы (на графике ЛАЧХ устойчивой САУ показана пунктиром, приложение 1) вычислим показатели качества: время регулирования и перерегулирование. Определив частоту среза 
, определим показатели качества системы по приближенным формулам:
· время регулирования (характеризует быстроту затухания переходного процесса):
где с=9 при 
, с=8 при 
, с=7 при 
Итак, 
, получаем: 
· перерегулирование:
