ЛЕКЦИЯ №13
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОГО УГЛА.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ.
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОГО УГЛА
Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., называются метрическими.
При решении этих задач необходимо знать условия перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. Для выяснения этих условий требуется изучить свойства ортогональной проекции прямого угла.
Здесь могут быть два случая.
1. Если две стороны любого линейного угла (в том числе прямого) параллельны некоторой плоскости проекций, то на эту плоскость он проецируется без искажения (рисунок 13-1). Если АВ//П' и ВС//П', то ÐАВС=ÐА'В'С', как углы с соответственно параллельными сторонами: АВ//А'В' и BC//B'C'.
2. Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого угла (рисунок 13-2). Докажем это.
Дано:ÐАВС=90°,. АВ//П', ВС#П'. Требуется доказать: ÐА'В'С'=90°.
Из условия ортогонального (прямоугольного) проецирования ВВ^П', а так как АВ//П', то ÐAВВ'=90°. Отсюда следует, что прямая AB^BВ' и ВС, которые лежат в проецирующей плоскости ВСС'В' и, следовательно, прямая A B^BСС'В'.
Но так как АВ//А'В', то и A'B'^ВСС'В'. Следовательно, А'В'^В'С', т.е.ÐA'B'С'=90º
Рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на угол между пересекающимися прямыми, так и на угол между взаимно-перпендикулярными скрещивающимися прямыми.
Для суждения о перпендикулярности скрещивающихся прямых нужно через произвольно взятую точку пространства провести прямые, параллельные скрещивающимся прямым и по углу между этими прямыми делать вывод о взаимном положении данных скрещивающихся прямых.
Итак: две взаимно-перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) сохраняют свою перпендикулярность на комплексном чертеже только в том случае, если одна из них является линией уровня (горизонталью, фронталью), а другая не перпендикулярна плоскостям проекций (рисунок 13-3).
Рассмотрим ряд примеров на применение свойств ортогональной проекции прямого угла.
Пример 1. Определить расстояние от точки А до горизонтали h (рисунок 13-4).
Расстояние от точки до прямой определяется перпендикуляром, опущенным из этой точки на прямую.
Горизонталь является одной из сторон прямого угла и, следовательно, прямой угол с ней будет сохраняться на виде сверху.
Решение начинаем с вида сверху. Построим здесь перпендикуляр к горизонтали, а затем на виде спереди, определяем его истинную величину (способом прямоугольного треугольника).
Пример 2. Через точку А провести прямую перпендикулярно фронтальной прямой f (рисунок 13-5).
Прямой угол с фронталью сохраняется на виде спереди, поэтому проводим на этом виде прямую n.
На виде сверху прямая n проводится произвольно, т.к. через точку в пространстве можно провести множество прямых перпендикулярных данной прямой.
Пример 3. Определить расстояние между параллельными горизонталями h1 и h2 (рисунок 13-6).
На виде сверху проводим общий перпендикуляр АВ к данным прямым.
Строим его на виде спереди, а затем определяем истинную величину отрезка АВ.