АЛГЕБРА ЛОГИКИ, - КАК ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ ЦИФРОВЫХ АВТОМАТОВ (ДИСКРЕТНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ). ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ОПЕРАЦИИ И ПОСТУЛАТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.

Алгебра логики (алгебра высказываний или булева алгебра) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.

 

Базовые логические операции

Операция	Название операции	Обозначение операции
И(AND)	Логическое умножение-конъюнкция	. ^
ИЛИ(OR)	Логическое сложение-дизъюнкция	+
НЕ(NOT)	Логическое отрицание-инверсия	− ⌐

Постулаты

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫЛОГИКИ. ОПЕРАЦИЯ СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ.

Булевой функцией называется двоичная переменная y, значение которой зависит от значений других двоичных переменных (x_1, x₂,…x_n), именуемых аргументами:

y=y(x₁, x₂,…x_n).

Задание булевой функции означает, что каждому из возможных сочетаний аргументов поставлено в соответствие определенное значение y.

При n аргументах общее число сочетаний N=2ⁿ. Так как каждому сочетанию аргументов соответствует два значения функции(0, 1), то общее число функций F=2_nn

Булева функция может быть задана на словах, таблично, алгебраически или числовым способом.

Табличное задание функции одной переменной

X
Y0
Y1
Y2
Y3

 

где y₀=0-const 0, или генератор 0;

y₁=x-повторитель;

y₂=x-инвертор;

y₃=1- const 1, или генератор 1.

 

Для алгебры логики установлено, что если y=y(z₁, z₂) где z₁ и z₂ – двоичные функции, т.е. z₁=z₁(x₁,x₂), z₂=z₂(x₃,x₄), то y=y(x₁, x₂, x₃, x₄)

 

Операцию замены одной функции другими функциями называют суперпозицией.

Эта операция дает возможность с помощью функций малых аргументов получить функции большего числа аргументов.

 

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГЕБРЫЛОГИКИ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ (СИНТЕЗА) И АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ СХЕМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ. ФУНКЦИЯ ПРОВОДИМОСТИ. ЭТАПЫПРОЦЕДУР СИНТЕЗА И АНАЛИЗА.

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

 

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

 

Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная.

 

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

 

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно, F=1;

б)

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно, F=0;

в)

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

г)

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;

д)

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x ^. y;

е)

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;

ж)

Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией .

 

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

 

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

 

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

 

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:

 

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.