ПЕРЕЧЕЬ
БАЗОВЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАЧ
По высшей математике
Выносимых на экзамен
За II семестр
Уч.год
(Лектор: Чернявская Светлана Алексеевна)
Производная.
1. Понятие производной.
2. Правило непосредственного нахождения производной ф-ции 
.
3. Основные теоремы о производных (с док-вом: производная суммы).
4. Производные основных элементарных функций 
.
5. Производная неявно заданной функции; логарифмическое дифференцирование; производные от функций, заданных параметрически.
6. Производные высших порядков.
7. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали.
8. Физический смысл производной.
9. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
10. Дифференциал функции.
11. Геометрический смысл дифференциала. Основные теоремы о дифференциалах. Дифференциалы высших порядков.
12. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях (Т-ма Ролля; т-ма Коши; т-ма Лагранжа).
13. Правило Лопиталя.
Уметь решать следующие примеры
1. Найти y¢:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
2. Найти dy, если 
.
3. Составить уравнение касательной и нормали к линии
а) 
в точке 
; б) 
в точке, где 
.
4. Тело движется прямолинейно по закону 
. Найти скорость и ускорение в момент времени t=4 сек.
5. Найти y¢¢x:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
4) Найти 
, если 
.
6. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
.
Неопределенный интеграл.
1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. Основные методы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование;
б) интегрирование заменой переменных (м-д подстановки);
в) интегрирование по частям.
5. Понятие правильной и неправильной рациональной дроби, виды простейших дробей I – IV типов.
6. Способ разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших. Интегрирование простейших дробей I – II типов.
7. Понятие функции, рационально зависящей от тригонометрических. Универсальная подстановка.
8. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей.
Уметь решать следующие примеры
1. Непосредственное интегрирование:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
| г)  ;
д)  .
|
2. Интегрирование заменой переменной:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
| г)  ;
д)  .
|
3. Интегрирование по частям:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
| г)  ;
д)  .
|
4. Интегрирование дробно рациональных функций:
а)  ;
б)  ;
| в)  ;
г)  .
|
5. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
| г)  ;
д)  .
|
6. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей:
а)  ;
| б)  .
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1. Основные понятия фнп. Область и ее граница.
2. Определение функции двух переменных, ее график, способы задания.
3. Частные и полный дифференциал.
4. Производная сложной функции.
5. Дифференцирование неявных функций.
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Уметь решать следующие примеры
1. Найти частные производные первого порядка функций по всем переменным:
а) 
б) 
в) 
г) 
2. Найти частные производные второго порядка по переменной х:
а) 
б) 
в) 
3. Найти полный дифференциал функций:
а) 
б) 
4. Найти производные сложных функций:
а) 
если 
; 
.
б) 
, если 
; 
.
Определенный интеграл
1. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.
2. Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.
3. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Основные свойства определенного интеграла.
5. Методы вычисления о.и. (формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле).
6. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно нуля.
Уметь решать следующие примеры
1. Вычислить:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
| г)  ;
д)  ;
е)  .
| ж)  ;
з)  ;
е)  .
|
2. Исследовать сходимость несобственных интегралов (по определению):
а)  ;
| б)  ;
| в)  .
|
3. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных линиями:
а) 
;
б) 
.
в) первой аркой циклоиды 
и осью ОХ.
г) эллипсом 
д) кардиоидой 
;
ж) четырех лепестковой розой 
.
4. Найти длины дуг кривых:
а) параболы 
, отсеченной осью ОХ;
б) полукубической параболы 
, если 
;
в) астроиды 
; г) 
д) кардиоиды 
;
ж) первого витка спирали Архимеда: 
.
5. Вычислить объем тела, полученного вращением.
а) вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями 
, 
, если 
;
б) вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
.
в) вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
1 Определения дифференциального уравнения, его порядка, решения.
2 Определения общего и частного решений д.у. I-го порядка.
3 Определение д.у. с разделяющимися переменными и метод его решения.
4 Определение линейного д.у. и метод его решения.
Уметь решать следующие примеры
1 С разделяющимися переменными.
а) 
, если 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
2 Линейные, уравнения Бернулли:
а) 
, если 
; б) 
; в) 
;
Дифференциальные уравнения 2-го и высших порядков.
1 Определения общего и частного решений д.у. 2-го порядка и высших.
2 Линейные однородные и неоднородные д.у. 2-го и высших порядков.
3 Теорема о частных решениях линейного однородного д.у. 2-го порядка.
4 Фундаментальная система решений ЛОДУ 2-го порядка и ее свойства.
5 Теорема о структуре общего решения ЛОДУ 2-го и высших порядков.
6 Теорема о частном решении ЛОДУ 2-го порядков.
7 Решение линейных однородных д.у. 2-го порядка с постоянным коэффициентами в случае:
а) действительных различных корней;
б) действительных кратных корней;
в) комплексно-сопряженных корней.
8 Метод решения ЛНДУ 2-го и высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида:
а) 
;
б) 
Уметь решать следующие примеры
1 Линейные однородные д.у. с постоянными коэффициентами:
а) 
; б) 
, если 
;
в) 
; г) 
; д) 
;
2 Линейные неоднородные д.у. с постоянными коэффициентами и специальной правой частью:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.