Производные тригонометрических функций




ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная

1. Понятие производной

Задача о скорости n химической реакции.

Пусть дана функция m=m(t), где m - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение - средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении ∆t к 0, т.е. - скорость химической реакции в данный момент времени t. Рассмотрим математическую операцию, требуемую для решения данной задачи:

Пусть функция f(x) определена в интервале (а;b), возьмем хÎ(а; b). Затем возьмем новое значение аргумента х+∆х из этого промежутка, придав первоначальному значению х приращение ∆х ¹0 (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции у+∆у=f(x+∆х), где ∆у=f(x+∆х)-f(x) – приращение функции.

Составим отношение ∆у к ∆х: = .

Определение1. Если существует предел отношения ∆у к ∆х, когда ∆х→0, то этот предел называется производной от функции у=f(x) в данной точке хи обозначается у¢ или f¢(x). Таким образом

или .

Действие нахождения производной функции называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Пример.

1) Найдем производную функции у=с (с=const).

Придадим произвольной точке х приращение ∆х ¹0. Соответствующее приращение функции: ∆у=с-с=0. Следовательно, и .

2) Найдем производную функции у = sin х.

( sin х)¢= cos х

Замечание. Из рассмотренной выше задачи о скорости химической реакции, получим, что скорость n химической реакции есть производная вещества m по времени t, т.е. n =m¢(t).

Теорема (необходимое условие дифференцируемости).Если функция у=f(x)- дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке.

 

2. Правила дифференцирования и производные элементарных функций

Вывод общих правил дифференцирования.

Пусть даны функции U(x) и V(x), имеющие производные U¢(x) и V¢(x)

1) Производная суммы.

Пусть у=U+V, найдем у¢.

2) Производная произведения

3) Вынесение постоянного множителя за знак производной

4) Производная частного

5) Производная сложной функции

Пусть переменная у зависит от переменной U, т.е. у=f(U), а переменная U зависит от переменной х, т.е. U=j(x). Функция f(U) имеет производную по переменной U, функция j(x) имеет производную по переменной х. Тогда сложная функция y=f(j(x)) тоже имеет производную по переменной х, которая равна производной внешней функции f(U), умноженной на производную внутренней функции j(x):

у¢(х)= у¢(U)·U¢(х)

Пример.

у=sin 3х, у¢=cos 3х·(3x)¢=3cos 3x.

6) Производная обратной функции.

Пусть у=f(x) и х=j(у)- взаимно обратные функции, тогда если функция у=f(x) имеет производную у¢=f¢(x)¹0, то обратная функция имеет производную j¢(у) и j¢(у)= или х¢(у)= .

 

Производные тригонометрических функций

1) (sin х)¢=cos х, (sin U(х))¢ = U¢(х)٠cos U(х)

2) .

(cos U(х))¢ = - U¢(х) ٠ sin U(х)

3) (tg х)¢ = , (tg U(х))¢ =

4) (сtg х)¢ = - , (сtg U(х))¢ =

Производная логарифмической функции:

1)(ln x)¢ = , (ln U(х))¢ =

2) (loga x)¢= , (loga U (x))¢=

Производная степенной функции:

y = хα, α Î R, х > 0

α)¢ = α¢ · хα-1

((U(х))α)¢ = α¢ ·(U(х))α-1·U¢(х)

Производная показательной функции:

х)¢ = ах · ln а

х)¢ = ех

U(х))¢ = еU(х)·U¢(х)

Производные обратных тригонометрических функций:

Функция у = arcsin х является обратной по отношению к функции х=sin у, тогда

(arcsin х)¢= = = = , - <y<

(arcsinx)¢=

(arcsin U(х))¢=

(arccos х)¢= , 0<y<π

(arccos U(х))¢=

(arctg x)¢ = , (arctg U(х))¢=

(arcctg x)¢=- , (arcctg U(х))¢=

 

Дифференциал функции

1. Понятие дифференциала

Из определения производной следует, что =у¢+α, где α=α(∆х) - БМФ при ∆х →0. Умножим левую и правую части данного выражения на ∆х, получим: ∆у=∆х·у¢+α·∆х.

Пусть у¢¹0, тогда первое слагаемое у¢·∆х - линейно по ∆х, т.к. у¢ не зависит от ∆х. При ∆х→0 это слагаемое бесконечно мало, но порядок его малости ниже порядка малости 2-ого слагаемого, т.к. для всех у¢¹0

.

Поэтому слагаемое у¢·∆х является главной частью приращенияфункции.

Это слагаемое называют дифференциалом функции у= f(x) и обозначают или df(x). Таким образом

dу=у¢·∆х.

Найдем дифференциал независимой переменной: dx=x¢×Dx= 1 ·Dx=Dx. Значит, dx=Dx.

Тогда дифференциал функции у= f(x) равен

dу=у¢·dx.

2. Дифференциал сложной функции

Пусть у = f(U), где U = j (x), причем f(U) имеет производную по U, а j (x) – по х. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

у¢ = = f ¢(U) ٠j¢(x)

dу = f¢u(U) ٠ j¢(x)·dх, но j¢(x)·dх = dj(x) Þ dу=f¢(U)dj.

Таким образом, дифференциация сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент ее был независимой переменной. Иначе говоря, формула записи дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формулы дифференциала.

3. Таблица формул для дифференциалов

Согласно формуле для нахождения дифференциала необходимо умножить производную на дифференциал независимой переменной: dу=у¢·dх. Это позволяет из таблицы формул для производных сразу получить соответствующую таблицу формул для дифференциалов, например, из формулы (U+V)¢=U¢+V¢, умножив обе части на dх, получим

(U+V)¢·dх=U¢·dх+V¢·dх

d(U+V)=dU+dV

Таблица дифференциалов


d(U·V)=V·dU+U·dV

d(c)=0

d(Uα)=α·Uα-1dU

d(sin U)=cos U·dU

d(cos U)=- sin U·dU

d(tg U)=

d(ctg U)=-

d(ln U)=

d(loga U) =


d(au)=au·lna·dU

d(eu)=eu·dU


d(arcsin U)=

d(arccos U)=

d(arctg U)=

d(arcctg U)=




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: