Серия 3, из простых и не очень задач с важными идеями

Серия 3, из простых и не очень задач с важными идеями

1. На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что Ð ABP = Ð CBQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке E. Докажите, что Ð ABE = Ð CBD.

2. Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую внутри него, проводится отрезок c_X, параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок b_X, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков b_X и c_X равны, лежат на одной прямой.

3. AB – хорда окружности S. Окружности S ₁ и S ₂ касаются окружности S в точках P и Q соответственно и отрезка AB в точке K. Оказалось, что Ð PBA = Ð QBA. Докажите, что AB – диаметр окружности S.

4. Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k >2 число р ²+ kpq + q ² – точный квадрат. Докажите, что (р -2)(q -2) ≤ k +2.

5. Пусть A ₁, B ₁ и C ₁ – проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. a) Докажите, что K –центроид треугольника A ₁ B ₁ C ₁. b) Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B ₁ C ₁.

6. Пусть P (x) – многочлен с целыми коэффициентами, P (x)>0 при x ≤0. Последовательность a ₀, a ₁, a ₂,… задана соотношениями a ₀ = 0 и a_n = P (a_{n -1}) при n ≥1. Докажите, что a) a _(n,m) = (a_n, a _m); b) a_{n +1} a_{n +2}… a_{n + k} кратно a ₁ a ₂… a_k для любых натуральных n, k.

7. a) Пусть f – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение f (x)= x не имеет решений в целых числах. Докажите, что уравнение f (f (f (x)))= x тоже не имеет решений в целых числах.

b) Пусть f – многочлен с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение f (x)= x не имеет решений в вещественных числах. Докажите, что уравнение f (f (f (x)))= x тоже не имеет решений в вещественных числах.

8. Пусть a, b, c, d >0. Докажите неравенства

а) ;

б)

9. Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что среди выписанных чисел есть не менее n различных.

10. Пара различных натуральных чисел называется хорошей, если у них одинаковые наборы простых делителей. Докажите, что существует бесконечно много хороших пар чисел (m, n) для которых пара (m +1, n +1) также является хорошей.

11. На основании AC треугольника ABC взяты точки M и N так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и CBN, равны. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABN и CBM, также равны.

Серия 3, из простых и не очень задач с важными идеями

1. На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что Ð ABP = Ð CBQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке E. Докажите, что Ð ABE = Ð CBD.

2. Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую внутри него, проводится отрезок c_X, параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок b_X, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков b_X и c_X равны, лежат на одной прямой.

3. AB – хорда окружности S. Окружности S ₁ и S ₂ касаются окружности S в точках P и Q соответственно и отрезка AB в точке K. Оказалось, что Ð PBA = Ð QBA. Докажите, что AB – диаметр окружности S.

4. Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k >2 число р ²+ kpq + q ² – точный квадрат. Докажите, что (р -2)(q -2) ≤ k +2.

5. Пусть A ₁, B ₁ и C ₁ – проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. a) Докажите, что K –центроид треугольника A ₁ B ₁ C ₁. b) Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B ₁ C ₁.

6. Пусть P (x) – многочлен с целыми коэффициентами, P (x)>0 при x ≤0. Последовательность a ₀, a ₁, a ₂,… задана соотношениями a ₀ = 0 и a_n = P (a_{n -1}) при n ≥1. Докажите, что a) a _(n,m) = (a_n, a _m); b) a_{n +1} a_{n +2}… a_{n + k} кратно a ₁ a ₂… a_k для любых натуральных n, k.

7. a) Пусть f – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение f (x)= x не имеет решений в целых числах. Докажите, что уравнение f (f (f (x)))= x тоже не имеет решений в целых числах.

b) Пусть f – многочлен с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение f (x)= x не имеет решений в вещественных числах. Докажите, что уравнение f (f (f (x)))= x тоже не имеет решений в вещественных числах.

8. Пусть a, b, c, d >0. Докажите неравенства

а) ;

б)

9. Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что среди выписанных чисел есть не менее n различных.

10. Пара различных натуральных чисел называется хорошей, если у них одинаковые наборы простых делителей. Докажите, что существует бесконечно много хороших пар чисел (m, n) для которых пара (m +1, n +1) также является хорошей.

11. На основании AC треугольника ABC взяты точки M и N так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и CBN, равны. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABN и CBM, также равны.