ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН




Теоретические сведения

Во многих практических задачах трудно или даже невозможно полностью определить функцию распределения случайной величины. Иногда в ней и нет необходимости. В таких случаях полное описание случайной величины при помощи закона распределения может быть заменено более грубым, но зато и более простым указанием отдельных параметров (числовых характеристик) этого распределения.

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание (среднее значение) тх и дисперсия σ2. Вместо тх используют обозначения M(X), E(X), а вместо σ2 - D(X).

Для дискретной случайной величины X математическое ожидание равно

(3.1)

Если X - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности W1(x), то

(3.2)

Формулы для дисперсии имеют вид

где - центрированная случайная величина, т. е. отклонение случайной величины X от ее математического ожидания.

Обобщением формул (3.1) – (3.4) являются выражения, определяющие математическое ожидание и дисперсию произвольной функции (р(Х) случайной величины X:

где mj= MIj(X)] –математическое ожидание функции j(Х). Математическое ожидание определяет абсциссу центра тяжести кривой распределения, а дисперсия – разброс случайной величины относительно ее математического ожидания. Рассеивание случайной величины часто характеризуют средним квадратичным отклонением («стандартом») σx, которое равно

Кроме математического ожидания в качестве характеристик положения случайной величины применяются иногда медиана и мода.

Медианой Me (иначе, срединным или вероятным значением) называется такое значение случайной величины X, при котором

Для непрерывной случайной величины X медиана находится из условия F1(Me) =1/2 или

Для дискретных случайных величин медиана определяется неоднозначно и практически не используется.

Модой M (иначе, наивероятнейшим значением) называется такое значение случайной величины X, для которого вероятность P(X = M) или плотность вероятности W1(M) имеют наибольшее значение. Если максимум один, то распределение называется одномодальным (унимодальным), а если несколько – многомодальным (полимодальным, мультимодальным),

При описании непрерывного распределения используют иногда квантили. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности р, называется такое значение x = хp, при котором функция распределения F1(x) принимает значение, равное р:

F1(xp) =p (3.11)

Общими числовыми характеристиками случайной величины являются моменты, которые представляют собой неслучайные величины (числа), характеризующие случайную величину с какой-либо стороны. Характерная особенность их состоит в том, что моменты более низкого порядка несут в себе больше сведений о случайной величине, чем моменты более высокого порядка.

Моментом k- гοпорядка случайной величины X относительно произвольной точки а называется математическое ожидание величины (X- a)k:

mk(a) = M(X - a)k. (3.12)

Момент, рассматриваемый относительно начала координат = О), называется начальным, а относительно математического ожидания (а = тх) – центральным.

В некоторых случаях используются абсолютные и факториальные моменты, которые соответственно определяются формулами:

где z[k]= z(z-l)(z-2)...(z-k+1).

Факториальные моменты полезны в двух отношениях. С их помощью можно в более компактном виде записать моменты некоторых дискретных распределений (типа биномиального) и, кроме того, в задачах определенного класса, включающих дискретные случайные величины, часто удобно находить начальные моменты mk, предварительно вычислив факториальные.

Математическое ожидание (среднее значение), определяемое формулами (3.1) и (3.2), представляет собой начальный момент первого порядка. Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию. Абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

При решении практических задач наиболее часто используются начальный момент первого порядка mi (математическое ожидание), начальный момент второго порядка т2 (средний квадрат случайной величины), центральный момент второго порядка μ2 (дисперсия), центральные моменты третьего и четвертого порядков, а также абсолютный центральный момент V1 первого порядка, называемый средним арифметическим отклонением.

С центральным моментом третьего порядка μ3 связан коэффициент асимметрии γ1, характеризующий «скошенность» распределения, а с центральным моментом четвертого порядка μ4 – коэффициент эксцесса γ2, показывающий «крутость» распределения вероятностей.

Для симметричных относительно математического ожидания распределений все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю и асимметрия отсутствует. Эксцесс нормального распределения равен нулю. Если кривая плотности вероятности W1(x) имеет более острую и высокую вершину по сравнению с нормальным распределением w(x), то эксцесс положителен; если более низкую и пологую – отрицателен.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: