Метод рассуждения путём анализа истинности частей сложных высказываний

8.Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

А) Макс победит, Билл – второй;

В) Билл – третий, Ник – первый;

С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Рассмотрим решение данной задачи двумя способами

I способ:

1) каждый из трех болельщиков высказал два утверждения, всего получилось 6; обозначим их так:

A: М1 = «Макс – первый», Б2 = «Билл – второй»

B: Н1 = «Ник – первый», Б3 = «Билл – третий»

C: Д1 = «Джон – первый», М4 = «Макс – четвертый»

2)

A: М1 + Б2 = 1, (по крайней мере одно из двух условий истинно)

М1 · Б2 = 0 (по крайней мере одно из двух условий ложно)

аналогично для остальных болельщиков

B: Н1 + Б3 = 1, Н1 · Б3 = 0

С: Д1 + М4 = 1, Д1 · М4 = 0

3)

(М1 + Б2) · (Н1 + Б3) · (Д1 + М4) = 1

4)

(М1 · Н1 + М1 · Б3 + Б2 · Н1 + Б2 · Б3) · (Д1 + М4) = 1

5) во-первых, два человека (Макс и Ник) не могут одновременно находиться на первом месте, поэтому М1 · Н1 = 0

6) во-вторых, один человек (Билл) не может одновременно находиться и на втором, и на третьем месте, поэтому Б2 · Б3 = 0, так что

(М1 · Б3 + Б2 · Н1) · (Д1 + М4) = 1

7)

М1 · Б3 · Д1 + М1 · Б3 · М4 + Б2 · Н1 · Д1 + Б2 · Н1 · М4 = 1

8) М1 · Д1 = 0, М1 · М4 = 0 и Н1 · Д1 = 0, так что

Б2 · Н1 · М4 = 1 (*)

9) Б2 = 1 (Билл на втором месте), Н1 = 1 (Ник – на первом) и М4 = 1 (Макс – на четвертом), а Джону осталось третье

10) таким образом, правильный ответ 3124

11)

Д Н Б М 3 м 1 м А В С 1 1 0 0 0 0 Д Н Б М 3 м 1 м 2 м 4 м А В С 0 0 1 1 1 0

обратите внимание, что вторые условия (М1 · Б2 = 0, Н1 · Б3 = 0 и Д1 · М4 = 0) мы даже нигде не использовали, все получилось «само собой», поскольку уравнение (*) имеет единственное решение.

II способ:

 

Ответ: 3124

Вывод: Технология, представленная мной компактна в записи, а также понятна при рассуждении, овладев ею ученик с удовольствием самостоятельно приступает к решению задач. Первый способ предполагает владение учащимся навыками преобразования, создания и упрощения логических выражений, знания законов алгебры логики. Выпускник школы должен владеть эти навыками, но зачем использовать нерационально учебное время, технология решения средствами алгебры логики используется при решении сложных задач.

9. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Пришедший специалист по обслуживанию сказал, что, скорее всего, с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?

П Пр В

Х Сын Спец 1 1 0 0 1 0

Ответ: Процессор.

10. Три друга Олег, Борис и Арсений, закончив институт, разъехались по разным городам. И вот спустя несколько лет, они, встретившись на вечере встречи выпускников, решили разыграть своего товарища. На его вопрос, где они теперь живут, друзья ответили:

Олег: я живу в Екатеринбурге, а Борис - в Мурманске.

Борис: я живу в Волгограде, а Олег - в Мурманске.

Арсений: я живу в Мурманске, а Олег - в Волгограде.

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал. Где живут Арсений, Борис и Олег? В ответе перечислите подряд без пробелов первые буквы названий городов, соответствующие именам друзей в указанном порядке, например ВМЕ.

А Б О М В Е

О Б А 1 1 1 0 0 0

Ответ: Арсений из Мурманска; Борис из Волгограда, Олег из Екатеринбург

Метод рассуждений

1) 2) 3) Ж 1 1 0 0 М 7 0 1 1

11. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были “Жигули”, первая цифра номера машины — единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки “Москвич”, а номер начинался с семёрки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер?

Ответ: Жигули, номер начинается с 7.

5гр 1) 2) 3) Л 3гр 0 1 1 М 4гр 1 0 0

5гр 1) 2) 3) Л 3гр 1 0 0 М 4гр 0 1 0

12. Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорей всего, 5 г», Витя предположил, что гирька сделана из меди и весит 3 г. Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них прав только наполовину. Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) – изготовлена гирька, и каков ее вес? В ответе запишите первую букву названия металла, а затем цифру, соответствующую весу гирьки, например, Л4.

 

 

Ответ: М5