Закон распределения случайной величины




Случайная величина

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие слу­чайной величины. Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров.

Число космических частиц, попадающих на определенный участок зем­ной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случай­ных обстоятельств.

Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, не остается постоянным, а подвержено значительным случайным колебаниям.

Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный харак­тер. В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рас­сеивания снарядов около центра цели как со случайным явлением и рас­сматривать указанные уклонения как случайные величины.

Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависи­мости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений очень много даже в течение короткого промежутка времени. Зная скорость моле­кулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значе­ние, скажем, через 0,01 или 0,001 секунды. Изменение скорости молекулы носит случайный характер.

Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнооб­разных областях науки и техники. Возникает естественная и притом весьма важная задача создания методов изучения случайных величин.

Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно, в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая из этих ве­личин под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различ­ные значения. Заранее предсказать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испы­танию.

Таким образом, для того чтобы знать случайную величину, прежде всего необходимо знать те значения, которые она может принимать. Одна­ко одного перечня значений случайной величины еще недостаточно, чтобы по ним можно было делать какие-либо существенные выводы. Действи­тельно, если в третьем примере рассмотреть газ при разных температурах, то возможные значения скоростей молекул останутся теми же самыми, тогда как состояния газа будут различны. Таким образом, для задания слу­чайной величины необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать большими буквами: X, Y, Z; их значения – соответствующими малыми буквами: x, y, z, а Ω X – множество возможных значений величины X.

Примеры случайных величин:

1. Опыт – бросок одной игральной кости; случайные величины Х – число выпавших очков; Ω X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. Опыт – работа ЭВМ до первого отказа; случайные величины X – время наработки на отказ; Ω X = (0, ∞].

В зависимости от вида множества Ω X случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Случайная величина (СВ) Х называется дискретной, если множество Ω X – счетное, т.е. его элементы можно расположить в определенном порядке и пронумеровать.

Случайная величина Х называется непрерывной (недискретной), если множество Ω X – несчетное.

Закон распределения случайной величины

Законом распределения случайной величины Х называется любая функция (правило, таблица и т.п.), устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями их наступления и позволяющая находить вероятности всевозможных событий p{a≤X b}, связанных со случайной величиной.

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Например, интуитивно ясно, что при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.

Вероятность

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события и является, наряду с понятием случайного события, вторым основным понятием теории вероятностей. Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно таковым стало, необходимо определить его количественно.

Виды средних

Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждой единицы совокупности.

Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовых расчетах.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление?

В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.

На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.

Все средние величины делятся на два больших класса:

· степенные средние; к ним относятся такие известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая величина, средняя квадратическая и средняя геометрическая;

· структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Степенные средние величины исчисляются в двух формах — простой и взвешенной.

Простая средняя величина считается по несгруппированным данным и имеет следующие общий вид:

 

 

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант (наблюдений).

Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

 

 

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек.

Возраст (лет) Возраст (лет) Возраст (лет) Возраст (лет)
               
               
               
               
               

 

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

 

 

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Возраст, Х (лет)          
Число студентов          

 

В результате группировки получаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

средняя гармоническая, если m = - 1;

средняя геометрическая, если m → 0;

средняя арифметическая, если m = 1;

средняя квадратическая, если m = 2;

средняя кубическая, если m = 3.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:

 

Xгарм ≤ Xгеом ≤ Xарифм ≤ Xквадр ≤ Xкуб.

 

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее "знатока" либо "утопить", либо "выручить" студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает "утопить" несчастного и вычислит среднюю гармоническую:

 

 

то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

 

 

Студент уже выглядит "хорошистом" и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

Формулы степенных средних величин приведены таблице.

В формулах средних значений n — это число единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X); x — индивидуальное значение признака у каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разной численности, то x — это значение признака, общее для всей группы; f — численность группы (частота повторения данного значения признака).

Вид степенной средней Показатель степени(m) Формулы расчета средней
Простой Взвешенной
Гармоническая -1
Геометрическая →0
Арифметическая  
Квадратическая  
Кубическая  

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

Разность X – М(X) называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания. Отклонение является случайной величиной.

Дисперсия

Для того чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание: зная математическое ожидание, нельзя сказать, какие значения принимает случайная величина и как они отклоняются от среднего значения. Наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D (X) = M (X – M (X))²

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: