Задача 9
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
9.1 
| 9.16 
|
9.2 
| 9.17 
|
9.3 
| 9.18 
|
9.4 
| 9.19 
|
9.5 
| 9.20 
|
9.6 
| 9.21 
|
9.7 
| 9.22 
|
9.8 
| 9.23 
|
9.9 
| 9.24 
|
9.10 
| 9.25 
|
9.11 
| 9.26 
|
9.12 
| 9.27 
|
9.13 
| 9.28 
|
9.14 
| 9.29 
|
9.15 
| 9.30 
|
9.31 
| 9.32 
|
Задача 10
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
10.1 
| 10.16 
|
10.2 
| 10.17 
|
10.3 
| 10.18 
|
10.4 
| 10.19 
|
10.5 
| 10.20 
|
10.6 
| 10.21 
|
10.7 
| 10.22 
|
10.8 
| 10.23 
|
10.9 
| 10.24 
|
10.10 
| 10.25 
|
10.11 
| 10.26 
|
10.12 
| 10.27 
|
10.13 
| 10.28 
|
10.14 
| 10.29 
|
10.15 
| 10.30 
|
10.31 
| 10.32 
|
РАЗДЕЛ 5
Ряды числовые и степенные
Задача 11
Исследовать сходимость числового ряда.
11.1 
| 11.11 
| 11.21 
|
11.2 
| 11.12 
| 11.22 
|
11.3 
| 11.13 
| 11.23 
|
11.4 
| 11.14 
| 11.24 
|
11.5 
| 11.15 
| 11.25 
|
11.6 
| 11.16 
| 11.26 
|
11.7 
| 11.17 
| 11.27 
|
11.8 
| 11.18 
| 11.28 
|
11.9 
| 11.19 
| 11.29 
|
11.10 
| 11.20 
| 11.30 
|
11.31 
| 11.32 
| 11.33 
|
Задача 12
Найти область сходимости степенного ряда.
12.1 
| 12.11 
| 12.21 
|
12.2 
| 12.12 
| 12.22 
|
12.3 
| 12.13 
| 12.23 
|
12.4 
| 12.14 
| 12.24 
|
12.5 
| 12.15 
| 12.25 
|
12.6 
| 12.16 
| 12.26 
|
12.7 
| 12.17 
| 12.27 
|
12.8 
| 12.18 
| 12.28 
|
12.9 
| 12.19 
| 12.29 
|
12.10 
| 12.20 
| 12.30 
|
12.31 
| 12.32 
| 12.33 
|
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задача 1. Предприятие производит продукцию трех видов и продает ее в трех регионах. Матрица 
задает цену реализации единицы продукции в i -том регионе по j -тому виду продукции. Матрица B – выручка предприятия в i -ом регионе по всем видам продукции (i = 1, 2, 3). Найти объем продаж по каждому виду продукции, если в каждый регион направляется одинаковое количество продукции каждого вида.
Указание: полученную систему линейных уравнений решить тремя способами:
1) по формулам Крамера;
2) матричным способом;
3) методом Гаусса.
Решение. Введем матрицу-столбец
,
где 
– объем продаж по i -тому виду продукции в каждом регионе (i = 1, 2, 3). Тогда для матриц А, В, Х справедливо соотношение
или
Это матричное уравнение равносильно системе линейных уравнений (СЛУ)
1 способ.
Решим эту СЛУ по формулам Крамера
.
Найдем
,
,
,
.
Тогда
,
,
.
Ответ: 
.
2 способ.
Решим эту СЛУ матричным способом: .
Тогда
.
Найдем матрицу 
:
.
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
Матрица имеет вид:
.
Тогда решение СЛУ найдем по формуле
.
Ответ: .
3 способ.
Решим СЛУ методом Гаусса.
Ответ: 
Как видим, ответы при решении СЛУ тремя способами совпали!
Задача 2. Некоторая кривая задана уравнением
.
Привести уравнение к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее график.
Решение.
В левой части уравнения выделим полные квадраты по переменным х и у:
Разделим обе части уравнения на 4:
Полученное уравнение соответствует каноническому уравнению гиперболы с центром в точке 
:
.
У нас 
.
Ох – действительная ось, Оу – мнимая ось.
График гиперболы изображен на рисунке 1.
у
0 х
–2
Рисунок 1
Задача 3. Построить на плоскости ХОУ область решений системы линейных неравенств
Решение.
Построим прямые в системе ХОУ:
где числа в знаменателях дробей показывают отрезки, отсекаемые этими прямыми на соответствующих осях координат (рисунок 2).
 |
у
10
х + у = 10
3,75
х + 4 у = 10
0 1,4 10 15 х
5 х – 2 у = 7
Рисунок 2
Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции 
.
Решение.
1. ОДЗ: х ≠ 3, х 
(– ∞; 3) 
(3; +∞).
х = 3 – точка разрыва, значит х = 3 – вертикальная асимптота графика функции.
Исследуем поведение функции вблизи найденной асимптоты:
.
2. Четность, нечетность.
,
функция не является четной, функция
функция не является нечетной, общего вида.
3. Интервалы монотонности и точки экстремума.
Покажем на схеме (рисунок 3).
max min
+ – – +
0 3 6 x
Рисунок 3
4.Выпуклость, вогнутость, точки разрыва.
 |  | ||||
 |
– +
3 x
Рисунок 4
5. Асимптоты.
y = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.
k 
= 
= 1.
b = 
= 
= 
.
– наклонная асимптота.
6. Пересечение с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0.
Значит, график функции проходит через начало координат.
Построим график заданной функции (рисунок 5).
у
–3 0 3 х
Рисунок 5
Задача 5. Дана функция: 
. Показать, что функция удовлетворяет уравнению:
. 
(*)
Решение.
1) Найдём частные производные первого порядка.
= 
= 
=
.
2) Найдём частные производные второго порядка.
3) Подставим частные производные второго порядка в уравнение (*).
.
Получили тождество, поэтому функция удовлетворяет заданному уравнению.
Задача 6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой 
, прямой 
и осью Ох.
Решение.
Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой:
2 x 2 = –3 x + 4,
2 x 2 + 3 x – 4 = 0,
x 1 = 1/2,
x 2 = –2.
Рисунок 6
Объем Vox находим по формуле:
Ответ: 
Задача 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
.
Решение. 
По определению, получаем:
интеграл сходится.
Ответ: 
интеграл сходящийся.
Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Решение.
Покажем, что уравнение является линейным:
xy ′ + 2 y = 6 x 4 (: x)
y ′ + 2 
= 6 x 3,
т.е. соответствует y′ + P(x)y = Q(x) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Пусть y = u∙v,
y′ = u′∙v + u∙v′,
u′∙v + u∙v′ + 2 
= 6 x 3,
v ∙(u ′ + 
) + u∙v′ = 6 x 3.
Разобьем полученное уравнение на два:
1) u ′ + 
= 0, 2) u∙v ′ = 6 x 3,
u ′ = – , 
∙ v ′ = 6 x 3,
= – , v ′ = 6 x 5,
= – 
, 
= 6 x 5,
ln 
= –2ln 
, 
= 
,
u = . v = x 6 + c.
y = u∙v = 
= x 4 + 
– общее решение.
Начальные условия x = 1, y = 1. Подставим в общее решение.
1 = 1 + c c = 0. Это значение записываем в общее решение.
y = x 4 – решение задачи Коши (частное решение).
Задание 9. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
y′′ – y′ = 9 xe2x.
Решение.
Составим однородное дифференциальное уравнение, отбросив правую часть:
y′′ – y′ = 0.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
k 2 – k = 0,
k (k – 1) = 0,
k 1 = 0 или k 2 = 1.
Тогда имеем решение:
yодн.= С 1 e 0 x + С 2 ex = С 1 + С 2 ex.
Для нахождения y * выпишем правую часть заданного уравнения:
f (x) = 9 xe 2 x = P 1(x)∙ 
, 
= 2 ≠ k 1,2.
y* = e 2 x (A 0 + A 1 x), где A 0, A 1 – необходимо найти.
Т.к. y* – решение, предполагаемое для заданного дифференциального уравнения, то эта функция должна удовлетворять заданному дифференциальному уравнению:
(y *)′ = 2 e 2 x (A 0 + A 1 x) + A 1 e 2 x ,
(y *)′′ = 4 e 2 x (A 0 + A 1 x) + 2 A 1 e 2 x + 2 A 1 e 2 x = 4 e 2 x (A 0 + A 1 x) + 4 A 1 e 2 x .
Подставим найденные производные в заданное уравнение:
4 e 2 x (A 0 + A 1 x) + 4 A 1 e 2 x – (2 e 2 x (A 0 + A 1 x) + A 1 e 2 x ) = 9 xe 2 x , (: e 2 x )
4(A 0 + A 1 x) + 4 A 1 – (2(A 0 + A 1 x) + A 1) = 9 x,
2 A 1 x + 3 A 1 + 2 A 0 = 9 x.
Многочлены в разных частях уравнения будут равны, если коэффициенты при одинаковых степенях x совпадут:
x: 2 A 1 = 9, A 1 = 
,
x 0: 3 A 1 + 2 A 0 = 0, A 0 = 
.
Решение y * имеет вид:
y* = e 2 x 
.
Общее решение заданного уравнения:
y = yодн. + y* = С 1 + С 2 ex + e2x .
Задание 10.ариант №30.ание 1: ____________________ Исследовать сходимость числового ряда 
. Решение.
– знакоположительный ряд.
Применяем интегральный признак сходимости (признак Коши). Пусть 
.
– несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом (первого рода)
Несобственный интеграл является сходящимся.
– сходится.
Ответ: 
– сходится.
Задание 11. Найти область сходимости степенного ряда 
.
Решение.
Здесь общий член 
; тогда 
; 
.
Вычислим радиус сходимости:
Искомый степенной ряд сходится для 
. 
;
;
.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть 
, тогда:
Ряд расходится, так как не имеет суммы. Следовательно, – точка расходимости.
Пусть 
, тогда:
Ряд расходится, так как не имеет суммы. Следовательно, 
– точка расходимости.
Ответ:заданный ряд сходится для 
.