Элементарные матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.




Определение. Матрица называется элементарной, если она получена из единичной одним элементарным преобразованием.

Например, матрица – элементарная матрица второго порядка, так ее можно получить из единичной умножением второй строки на -2. А вот матрица элементарной уже не является.

Использование элементарных матриц основано на их свойствах.

Теорема. (свойства элементарных матриц)

1) Каждая элементарная матрица обратима.

2) Матрица, обратная к элементарной, сама является элементарной и может быть получена из единичной с помощью обратного элементарного преобразования:

а) Если E – элементарная матрица, полученная из единичной перестановкой двух ее строк местами, то ;

б) E – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число , то – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число ;

в) E – элементарная матрица, полученная из единичной прибавлением к i -ой строке j -ой ее строки, умноженной на число , то – элементарная матрица, полученная из единичной прибавлением к i -ой строке единичной матрицы j -ой ее строки, умноженной на число .

3) Если матрица B получена из матрицы A тем же элементарным преобразованием, что и элементарная матрица E получена из единичной, то .

Доказательство.

1) Так как элементарная матрица получена из единичной с помощью элементарного преобразования, то она является квадратной матрицей n -го порядка и ее ранг равен рангу единичной матрицы того же порядка, т.е.равен n. Следовательно, элементарная матрица обратима по критерию.

2) а) Пусть E – элементарная матрица, полученная из единичной перестановкой i -ой и j -ой строк местами. Покажем, что , те. . Равенство матриц будем доказывать построчно.

Если и , то .

Если то .

Аналогично, если то .

б) Пусть теперь E – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число . Покажем, что если – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число , то , т.е. . Равенство будем доказывать построчно.

Если , то .

Если то .

в) Рассуждения проведите самостоятельно.

3) Пусть матрица B получена из матрицы A тем же элементарным преобразованием, что и элементарная матрица E получена из единичной. Покажем, что . Возможны три случая:

а) Пусть E – элементарная матрица, полученная из единичной перестановкой i -ой и j -ой строк местами. Равенство будем доказывать построчно.

Если и , то .

Если то .

Аналогично, если то .

б) Пусть теперь E – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число . Равенство будем доказывать построчно.

Если , то .

Если то .

в) Рассуждения проведите самостоятельно ■

Следствие 1. Если матрица B получена из матрицы A цепочкой элементарных преобразований, то , где – элементарные матрицы, соответствующие этим преобразованиям.

Так как любую невырожденную матрицу A с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной, то единичную матрицу можно выразить через A с помощью соответствующих элементарных матриц:

. Откуда получаем, что – матрица, полученная из единичной цепочкой тех же преобразований, что и единичная из A, является матрицей, обратной к A.

Итак, чтобы найти матрицу обратную к невырожденной матрице нужно следовать следующему алгоритму:

, где .

Пример. Пусть . Согласно полученному алгоритму:

.

Итак, – матрица, обратная для .

Проверка: .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: