,
то мы видим, что матрица А подобна диагональной матрице, у которой на диагонали стоят собственные значения этой матрицы.
Обратно, если матрица А подобна диагональной матрице, то из (13) следует, что столбцы матрицы подобия Р являются собственными векторами А и, в силу невырожденности матрицы Р, они - линейно независимы
Ниже приведем два важных частных случая предыдущей теоремы.
Т е о р е м а 2. Если все собственные значения матрицы А различны, то она подобна диагональной матрице.
Т е о р е м а 3. Если А вещественная симметричная матрица (то есть ), то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия может быть взята ортогональной ().
Не будем здесь доказывать эти результаты, а только отметим, что симметричные матрицы чрезвычайно важны для приложений и их собственные значения обладают многими замечательными свойствами. В частности, собственные значения вещественной симметричной матрицы всегда вещественны, и если при этом матрица положительно определена, то есть
для всех ненулевых векторов, то ее собственные значения положительны.
Из теоремы 2 следует, что, если матрица А не обладает n линейно независимыми собственными векторами, то она обязательно имеет кратные собственные значения (обратное неверно).
Если некоторые собственные значения матрицы А являются кратными, то, с помощью преобразования подобия, матрица A может быть приведена к следующей, наиболее близкой к диагональной, форме:
.
Здесь - собственные значения матрицы А и равны либо 1, либо 0. Предполагается, что если отлично от нуля, то и равны. Можно показать, что матрица А, в этом случае, будет имеет линейно-независимых собственных векторов, где - число ненулевых значений .
Таким образом, матрица I может быть разбита на клетки:
, (14)
где р - число линейно независимых собственных векторов и каждая клетка Ii есть матрица вида:
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица (14) называется канонической жордановой формойматрицы А.
Отметим, что, если матрица А имеет n линейно независимых собственных векторов, то p=n, каждая клетка имеет размер и матрица I становится диагональной.
Для многих вычислительных целей оказывается очень желательным иметь дело с ортогональными или унитарными матрицами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Комплексная матрица U называется унитарной, если она удовлетворяет соотношению , где матрица, сопряженная к U, то есть матрица, получающаяся из U заменой элементов на комплексно-сопряженные с последующим транспонированием.
Вещественная унитарная матрица является ортогональной.
Ниже сформулируем без доказательства два основных результата о преобразованиях с унитарными матрицами.
Т е о р е м а Ш у р а. Для любой матрицы А размера существует унитарная матрица U такая, что матрица является треугольной.
Т е о р е м а (сингулярное разложение). Для любой матрицы А размера существуют унитарные матрицы U и V такие, что матрица UAV является диагональной.
В случае теоремы Шура матрица является результатом преобразования подобия и, следовательно, на диагонали этой треугольной матрицы стоят собственные значения матрицы А. В случае сингулярного разложения матрица UAV уже не будет подобна А, за исключением, когда , и диагональные элементы этой диагональной матрицы не обязательно будут собственными значениями матрицы А. Оказывается, что числа на диагонали являются квадратными корнями из собственных значений матрицы. . (Если А вещественная, то матрица . всегда является симметричной и положительно полуопределенной, то есть. для всех вещественных векторов , и, следовательно, все собственные значения вещественны и неотрицательны). В дальнейшем эти числа будем называть сигнулярнымизначениями матрицы А. Эти числа играют важную роль во многих статистических и вычислительных задачах.
Т е о р е м а (Гершгорина). Все собственные значения матрицы А лежат в объединении кругов .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - какое-либо собственное значение матрицы А и соответствующий собственный вектор. Тогда по определению:
.
Пусть, далее, - наибольшая по абсолютной величине координата вектора , тогда:
,
так что лежит в круге с центром в .
ПРИМЕР. Рассмотрим матрицу:
круги Гершгорина которой показана на рисунке.
Мы сразу можем заключить, что все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные
Рис.