Тема 1. Множества и операции над ними
Методические рекомендации
В данной теме предлагаются задания 6 видов, связанные с переходом от одного способа задания множества к другому, с установлением вида отношений между множествами, с выполнением операций над множествами, с разбиением множества на классы, с правилами для подсчета числа элементов в объединении и разности конечных множеств.
Образец выполнения задания
Задание 1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств.
Приведите примеры двух заданий из учебников математики для начальных классов (указать автора учебника, класс, год издания, номер задания, страницы), при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому. Выбор обоснуйте.
Решение. Очень важно умение переходить от одного способа задания множества к другому. Этому обучаются младшие школьники, выполняя упражнения такого характера.
Задача 1. Запишите числа, которые больше, чем 65 и меньше, чем 75.
Решение. Множество чисел задано при помощи характеристического свойства «быть больше 65 и меньше 75». Требуется перечислить элементы этого множества: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74.
Задача 2. Укажите характеристическое свойство элементов множества А={12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92}.
Решение. Перечислены все элементы множества А. Их характеристическое свойство: «быть двузначным и оканчиваться цифрой 2».
Задание 2. Отношения между множествами
В данное задание включены два типа задач. В каждом варианте один тип. В задачах первого типа требуется сформулировать условие, при котором заданные множества будут находиться в том или ином отношении. Для их решения нужно воспользоваться определениями отношений между множествами и сформулировать соответствующие высказывания со словами «любой», «некоторые», «ни один».
В задачах второго типа требуется найти отношения между множествами и с помощью кругов Эйлера изобразить их. В этом случае следует выделить множества, о которых идет речь, сделать вывод об отношениях между ними на основе соответствующих определений (ориентируясь на слова «все», «некоторые», «ни один»), затем выполнить рисунок.
Задача 1. Известно, что А – множество студентов группы, увлекающихся математикой, В – множество студентов группы, интересующихся русским языком. Сформулируйте условия, при которых: а) В∩А≠Ø; б) АÈ В=А.
Решение. а) По определению множества А и В пересекаются, если они имеют хотя бы один общий элемент. Поэтому В∩А≠Ø, если хотя бы один студент группы, интересующийся русским языком, увлекается и математикой.
б) Исходя из равенства АÈВ=А, выясним, в каком отношении находятся множества А и В. Известно, что АÈ В=А в том случае, когда ВÌА, т.е. если все элементы множества В являются также и элементами множества А. Таким образом, АÈВ=А, если все студенты, интересующиеся русским языком, увлекаются и математикой.
Задача 2. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывание: «Все студенты нашего курса присутствовали на лекции».
Решение. Выделим множества, о которых идет речь в данном высказывании: это множество студентов некоторого курса (обозначим его через А) и множество студентов, присутствовавших на лекции по математике (обозначим его через В). В данном высказывании утверждается, что все элементы множества А являются также и элементами множества В, По определению отношения включения это означает, что АÌВ. Поэтому множество А надо изобразить внутри круга, изображающего множество В (рис.1).
Задание 3. Операции над множествами
Задачи данной тематики связаны с выполнением различных операций над множествами. Для их решения, прежде нужно определить порядок выполнения операций, а затем воспользоваться соответствующими определениями (объединения, пересечения, разности, дополнения), каждый раз оперируя с двумя множествами. Так как множества представляют собой числовые промежутки, целесообразно изобразить их на координатной прямой.
Задача. Найдите множество Х= А È В'R∩С, если А=(5;8], В=[2;4), С=(3;6).
Решение. Учитывая соглашение о порядке выполнения операций, сначала находим В'R, затем В'R∩С и, наконец, А È (В'R∩С). С этой целью изобразим множество В на координатной прямой (выполняем рисунок). По определению дополнения множество В'R состоит их всех действительных чисел, не принадлежащих В (выделяем его на рисунке), В'R=(-∞;2) È[4; +∞). Пересечением этого множества с множеством С будут числа, общие для В'R и С (выполняем 2 рисунок, на нем изображаем множества В'R и С, и выделяем область с двойной штриховкой), т.е. числа, содержащиеся в промежутке [4;6). Записываем результат В'R∩С=[4;6). Далее находим объединение множества А с полученным множеством [4;6), по определению это будет множество, которое состоит из всех действительных чисел принадлежащих множеству А или множеству В'R∩С (выполняем 3 рисунок, на нем изображаем множества А и В'R∩С, и выделяем область, включающую любую штриховку). Записываем результат А È (В'R∩С)= [4;8],
Таким образом, Х= А È В'R∩С=[4;8],