Рабочая программа модуля
Математический анализ
Направление подготовки (специальность)
080100.62 «Экономика»
Профиль подготовки (специализация)
Финансы и кредит
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Нижний Новгород
2011 г.
Цели освоения дисциплины.
- устойчивое осознание понятия функциональной зависимости;
- ознакомление с фундаментальными понятиями и методами дифференциального и интегрального исчислений;
- освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
- развитие четкого логического мышления.
Место дисциплины в структуре ООП.
Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин.
Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций.
Дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Макроэкономика, Микроэкономика, Теория отраслевых рынков, Экономика общественного сектора, Институционная экономика, Теория вероятностей, Эконометрика, Математическая статистика, Методы оптимальных решений.
Требования к результатам освоения дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: Обладание культурой мышления, способность к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК–1);
Способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и
письменную речь (ОК-6);
Способность на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);
Способность выполнять необходимые для составления экономических разделов плановые расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
Способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, умение проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные определения и понятия изучаемых разделов математического анализа.
Уметь: использовать математические методы в экономических приложениях.
Владеть: методами математического анализа.
4. Структура и содержание модуля.
Содержание дисциплины.
| № | Лекции.Наименование тем. | Кол-во часов |
| 1 2 4 7 8 | 1 семестр. Раздел 1. Функции.Классификация числовых множеств. Комплексные числа. Функции. Кривые 2-го порядка. Раздел 2. Пределы. Последовательности и их пределы. Предел функции. Непрерывность функции. Раздел 3. Производная.Производная функции. Раздел 4. Приложения производной. Дифференциал. Вычисление пределов с помощью производной. Геометрический смысл производной. Исследование функций и построение их графиков. Раздел 5. Функции нескольких переменных.Функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Контрольная работа №1 Итого 2 семестр. Экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум. Раздел 6. Интеграл.Неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла. Раздел 7. Дифференциальные уравнения.Обыкновенные дифференциальные уравнения и основные понятия. Уравнения 1-го порядка. Уравнения высших порядков. Раздел 8. Ряды.Числовые ряды. Степенные ряды. Контрольная работа №2 Итого | 2 6 2 3 2 36 4 2 36 |
| № | Практические занятия.Наименование тем. | Кол-во часов |
| 8 9 10 13 14 | 1 семестр Трансцендентное исчисление. Комплексные числа. Функции и их графики. Кривые 2-го порядка. Пределы. Непрерывность функции. Производная функции. Дифференциал. Вычисление пределов с помощью производной. Исследование функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения. Контрольная работа № 1 Итого 2 семестр Функции многих переменных. Экстремум функции многих переменных. Условный экстремум. Неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Числовые ряды. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Контрольная работа № 2 Итого | 4 2 36 |
Функции.
Классификация множеств чисел: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Счётные и несчётные множества. Запись рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей. Модуль числа; геометрический смысл модуля. Комплексные числа в алгебраической форме и арифметические действия над ними. Геометрический смысл комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Окрестность точки. Функция и способы её задания. Область определения и множество значений функции. Основные свойства функций: чётность и нечётность, монотонность, ограниченность, периодичность. Явные и неявные функции. Обратная функция. Теорема об обратной функции. Свойство графиков обратных функций. Сложная функция. Классификация элементарных функций. Графики элементарных функций. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. График дробно-линейной функции. Парабола. Преобразование графиков.
Пределы.
Числовая последовательность; способы задания последовательности: явный, рекуррентный. Монотонность последовательности. Предел числовой последовательнос-ти. Геометрический смысл предела последовательности. Предел функции в бесконеч-ности и его геометрический смысл. Предел функции в точке и его геометрический смысл. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины. Связь бесконечно малых
с пределами функций. Свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины и их свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Арифметические действия над пределами. Первый замечательный предел и его следствия. Второй замечательный предел и его следствия. Число е. Задача о непрерывном начислении процентов. Бесконечно малые величины и порядок их малости. Сравнение бесконечно малых. Главная часть бесконечно малой величины. Эквивалентные бесконечно малые. Основные эквивалентности. Вычисление пределов
с помощью основных эквивалентностей. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Арифметические свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
3. Производная.
Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости движения, задача о производительности труда. Определение производной функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке. Механический смысл производной. Экономический смысл производной. Теорема о зависимости между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
4. Приложения производной.
Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Правила Лопиталя. Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Теорема Ферма и её геометрический смысл. Признаки монотонности функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость вверх и выпуклость вниз кривой. Признаки выпуклости кривой. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема
исследования функций и построения их графиков.
5. Функции нескольких переменных.
Функция п переменных. График функции двух переменных. Линии уровня функции 2-х переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Схема исследования функции двух переменных на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум. Метод исключения части переменных. Метод Лагранжа.
6. Интеграл.
Первообразная функция. Общий вид первообразных. Неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования. Интегралы от основных элементарных функций. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональностей. «Неберущиеся» интегралы. Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла: задача о площади криволинейной трапеции. Экономический смысл интеграла. Достаточное условие существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Геометрические приложения определённого интеграла: площадь криволинейной трапеции; объём тела вращения.
7. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и основные понятия: решение, интеграл, общее решение, общий интеграл, интегральная кривая. Составление дифференциальных уравнений по семейству кривых. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа интегрирования линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
8. Ряды.
Числовой ряд. Сходимость и расходимость числовых рядов. Свойства сходящих-ся рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признак сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак Коши-Маклорена.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Основные разложения в ряд Маклорена элементарных функций. Почленное дифференцирование и почленное интегрирование степенных рядов. Разложение функций в ряд с помощью основных разложений. Применение рядов в приближённых вычислениях.
Образовательные технологии.
Мастер-класс автора программы по широкому употреблению устного счёта взамен калькуляторов при проведении громоздких расчётов.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Вопросы по курсу.
1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Какие числа записываются десятичными периодическими дробями? Какие – десятичными бесконечными непериодическими дробями? Представить в виде обыкновенной дроби число 0,2(54). Изображение действительных чисел на прямой. Плотность множества действительных чисел. Счётные и несчётные множества. Парадокс континуума. Какое множество содержит больше точек: отрезок [0; 1] или отрезок [0; 2]?
2. Модуль числа. Геометрический смысл модуля. Неравенства, содержащие модуль. Решить неравенства 
< 1, 
> 5.
3. Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия над комплексными числами. Вычислить: 
. Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль комплексного числа. Верно ли, что модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению модулей этих чисел? Ответ проиллюстрировать на примере приведённого выше числа.
4. Полярная система координат на плоскости. Переход от полярных координат к прямоугольным и наоборот. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа в тригонометрической форме. Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел в тригонометрической форме. Вычислить, используя тригонометрическую форму: (1 + i 
) – 5. Найти все значения 
. Сколько значений принимает радикал п -й степени из комплексного числа? Каков геометрический смысл такого радикала? Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
5. Функция. Область определения функции. Множество значений функции. Возрастание, убывание функции. Периодичность функции. Обратная функция. Для всякой ли функции существует обратная функция? Каково достаточное условие обратимости функции? Как ведут себя графики двух взаимно-обратных функций?
6. Основные элементарные функции. Алгебраические и трансцендентные функции. Степеннаяфункция, её частные случаи и графики. Построить график функции
у = 2(х – 1) 
+ 3.
7. Показательная функция и её график. Что можно сказать о характере монотонности показательной функции? От чего он зависит? Построить график функции у = 
.
8. Определение логарифма. Основные свойства логарифма.
Вычислить: 
.
9. Логарифмическая функция, её взаимосвязь с показательной функцией. График логарифма. Построить график функции у = 
.
10. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Определение тригонометрических функций с помощью единичной окружности. Основное тригонометрическое тождество и его следствия. Формулы суммы, разности синусов, косинусов; синуса, косинуса суммы, разности; двойного аргумента; половинного аргумента. Решить задачу: Известно, что ctg 2 
= 
,
0 < < 
. Найти cos 2 .
11. Функция у = sin x и её основные свойства: область определения, множество значений, периодичность, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. Функция у = cos x и её основные свойства. Как можно получить график косинуса из графика синуса?
12. Функция у = tg x и её основные свойства: область определения, множество значений, периодичность, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. Функция у = ctg x и её основные свойства.
13. Определение обратных тригонометрических величин с помощью теоремы о существовании обратной функции и теоремы о графиках взаимно-обратных функций. Графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Вычислить: cos (arctg 0,75) + ctg (arcсos (-0,96)).
14. Преобразования графиков: смещение вдоль осей, деформация (растяжение-сжатие) вдоль осей, зеркальный поворот относительно осей. Построить график функции
у = - 2 
.
15. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Уравнение окружности. Решить задачу:
Построить кривую х 2 + у 2 – 8х + 6у – 11 = 0.
16. Эллипс и его характеристики. Решить задачу:
Построить кривую х 2 + 4у 2 – 6х + 8у – 3 = 0.
17. Гипербола и её характеристики. Решить задачу:
Построить кривую 16х 2 – 9у 2 – 64х + 54у – 161 = 0.
18. Парабола и её характеристики. Решить задачу:
Построить кривую х 2 + 4х + 2у + 4 = 0.
19. Числовая последовательность. Рекуррентный способ задания последовательности (проиллюстрировать на примере последовательности Фибоначчи из задачи о размножении кроликов). Ограниченность и неограниченность последовательности. Монотонные последовательности.
20. Предел последовательности. Доказать, что 
. Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001. Геометрический смысл предела последовательности.
21. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (определение на языке неравенств). Какова связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями? Теорема о связи между последовательностью, её пределом и бесконечно малой. Арифметические свойства пределов.
22. Как раскрывается неопределённость вида 
, если числитель и знаменатель дроби представляют собой степенные выражения? Проиллюстрировать приём на примере 
.
23. Как раскрывается неопределённость вида (
) с иррациональными выражениями? Проиллюстрировать приём на примере 
. Можно ли утверждать, что () = 0? Ответ проиллюстрировать на контрпримере 
.
24. Определение предела функции (по Коши). Доказать, что 
= - 1. Определить, на какую величину 
должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем 0,1; 0,02. Геометрический смысл предела функции. Бесконечный предел функции (определение на языке неравенств).
25. Определение предела функции (по Гейне). Доказать, что функция sin x не имеет предела при стремлении х к 
.
26. Теорема Безу о разложении многочлена на множители. Как раскрывается неопределённость вида 
, если числитель и знаменатель представляют собой многочлены? Проиллюстрировать приём на примере 
.
27. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель или знаменатель содержат иррациональные выражения? Проиллюстрировать приём на примере 
.
28. Первый замечательный предел и его следствия. Вычислить 
.
29. Второй замечательный предел и его следствия. Вычислить 
.
30. Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости. Сравнить функции
(х) = х sin х и 
(х) = е х – 1 при х → 0.
31. Эквивалентные бесконечно малые величины. Основные эквивалентности. Проиллюстрировать применение эквивалентности на примере вычисления
.
32. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва и их классификация. Исследовать на непрерывность функции у = 
, у = 
, у = 
. Построить графики этих функций.
33. Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости движения, задача о производительности труда. Определение производной функции в точке. Дифференци-руемость функции на промежутке. Механический и экономический смыслы производной.
34. Бином Ньютона. Вывод формул производных степенной функции у = х п при п 
N, функций у = sin x, y = e x, y = ln x. Формула производной функции y = cos x.
35. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Вывод формул производных функций у = а х, у = log а х, у = tg x, y = ctg x, у = х α (α R).
36. Производная обратной функции. Вывести формулы производных функций у = ln x,
у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
37. Логарифмическое дифференцирование. Проиллюстрировать приём на примере вычисления производной степенно-показательной функции у = х х.
38. Проиллюстрировать приём вычисления производной неявной функции на примере
равенства ух + log 2 (x 2 + y 2) – sin (xy) = 0.
39. Производные высших порядков. Найти производные п-го порядка функций у = sin x,
y = ln x.
40. Главная часть бесконечно малой функции. Определение дифференциала функции. Формула дифференциала. Вывод формулы для приближённого вычисления функции через её дифференциал. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления
arctg 0,97.
41. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида . Проиллюстрировать правило на примере 
.
42. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида . Проиллюстрировать правило на примере 
.
43. Как реализуется правило Лопиталя при раскрытии неопределённости вида (0 
)? Проиллюстрировать приём на примере 
.
44. Как реализуется правило Лопиталя при раскрытии неопределённостей степенно-показательного вида? Проиллюстрировать приём на примере 
.
45. Секущая и касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Решить задачу: Составить уравнение касательной к графику функции у = х 2 + 2 в точке х 0 = 1.
46. Угол между кривыми. Построить кривые 2 у =х 2 и 2 у = 8 – х 2. Какого они типа? Найти углы между ними.
47. Признаки монотонности функции, их обоснование с помощью геометрического смысла производной. Определить интервалы монотонности функции
у = х 3 – 6 х 2 – 15 х + 2.
48. Точки максимума и минимума функции. Каково обобщающее название максимума и минимума? Необходимое условие экстремума функции. Является ли оно достаточным? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции у = х 3 и точки
х = 0. Чем для функции является точка, в которой выполняется необходимое условие экстремума? Какая точка называется критической для функции? Достаточные условия экстремума функции, их обоснование с помощью геометрического смысла производной. Найти экстремумы функции у = х 
.
49. Выпуклость вверх и выпуклость вниз кривой. Признаки выпуклости кривой. Определить интервалы выпуклости графика функции у = 0,5 х 3 + 3 х 2 – 18 х + 20.
50. Точка перегиба кривой. Необходимое условие точки перегиба. Является ли оно достаточным? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции у = х 4 и точки
х = 0. Какая точка называется критической 2-го порядка для функции? Достаточное условие точки перегиба. Найти точки перегиба графика функции
у = х 4 + 2 х 3 – 12 х 2 – 5 х + 2.
51. Как исследуется поведение функции вблизи границ области её определения? Проиллюстрировать приём на примере функции у = 
.
52. Асимптота кривой. В каком случае график функции у = f (x) имеет вертикальную асимптоту? Формулы параметров наклонной асимптоты графика функции у = f (x). Найти асимптоты кривой у = 
.
53. Как отыскать точки пересечения графика функции у = f (x) с осями координат? Проиллюстрировать приём на примере функции у = log 2 (4 – x 2). Сколько общих точек может иметь график функции у = f (x) с осью Оу? С осью Ох?
54. Общая схема исследования функции у = f (x). Исследовать функцию у = 
и построить её график.
55. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решить задачу: Издержки производства некоторого товара равны ТС = 4 + 15 Q; спрос на товар определяется функцией Р = - Q 2 + 20 Q + 2; 10 ≤ Q ≤ 20. Найти объём продукции Q, максимизирующий прибыль.
56. Функция многих переменных. Множество какой размерности представляет собой область определения функции z = 
? Изобразить эту область графически. Каково множество значений этой функции? Каковы линии уровня этой функции?
57. Частные производные функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Что можно сказать о смешанных частных производных по выбранным переменным с разным порядком дифференцирования? Найти все вторые частные производные от функции u = sin 
.
58. Дифференциал функции многих переменных. Дифференциалы высших порядков. Записать дифференциал 2 -го порядка от функции z = 3 х 2 + 2 ху 2 – 4 ху + х 2 у – у 3. Что представляет собой дифференциал 2-го порядка с точки зрения линейной алгебры?
59. Приращение функции многих переменных. Связь между приращением и дифференциалом. Формула приближённого вычисления функции через дифференциал.
Проиллюстрировать приближённое вычисление на примере выражения 3,01 2,03.
60. Производная по направлению. Вычислить производную функции
z = x 2 + xy + y 2 + 2 x + 2 y в точке М (1; 1) по направлению вектора l= (3; 4).
61. Градиент. Каков геометрический смысл градиента функции трёх переменных? Найти градиент функции u = x 2 + 3 xy 2 – z 3 y в точке М (- 2; 3; - 1).
62. Точки максимума, минимума функции п переменных. Каково обобщающее название для этих точек? Что собой представляет п -мерный шар? Каковы необходимые условия экстремума функции п переменных? Как называются точки, удовлетворяющие этим условиям? Достаточны ли эти условия для экстремальности? Каковы достаточные условия для существования экстремума у дважды дифференцируемой функции п переменных?
63. Схема исследования функции многих переменных на локальный экстремум. Проиллюстрировать алгоритм отыскания экстремумов на примере функции
u = 2 x 2 – xy + 2 xz – y + y 3 + z 2.
64. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных на ограниченном замкнутом множестве. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3 x 2 – x 3 + 3 y 2 + 4 y на ромбе, диагонали которого равны 2 и 1, лежат на осях Ох и Оу соответственно и пересекаются в начале координат.
65. Условный экстремум. Является ли условный экстремум функции её локальным экстремумом? Метод исключения части переменных. Проиллюстрировать метод на примере функции u = x + y + z 2 при условиях связи { z – x = 1, y – xz = 1}.
66. Функция Лагранжа. Проиллюстрировать алгоритм отыскания условного экстремума методом Лагранжа на примере функции z = 2 х + у при условии х 2 + у 2 = 5.
67. Первообразная. Общее свойство первообразных. Неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования. Таблица простейших интегралов.
Найти интеграл 
.
68. Метод замены переменной при интегрировании. Проиллюстрировать метод на
примере интеграла 
.
69. Интегрирование по частям. Проиллюстрировать метод на примере интеграла 
.
70. Циклическое интегрирование. Проиллюстрировать на примере интеграла 
.
71. Алгоритм интегрирования рациональных дробей. Проиллюстрировать приём на примере интеграла 
.
72. Интегрирование рациональных дробей со знаменателем, не разложимым на линейные множители. Проиллюстрировать приём на примере интеграла 
.
73. Интегрирование рациональных дробей с кратными действительными корнями знаменателя. Проиллюстрировать на примере интеграла 
.
74. Интегрирование рациональных дробей с кратными комплексными корнями знаменателя. Проиллюстрировать на примере интеграла 
.
75. Понижение степени при интегрировании тригонометрических выражений. Проиллюстрировать приём на примере интеграла 
.
76. Интегрирование произведений синусов и косинусов. Проиллюстрировать приём на примере интеграла 
.
77. Универсальная тригонометрическая подстановка. Проиллюстрировать её применение при интегрировании на примере интеграла 
.
78. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида а 2 – х 2? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла 
.
79. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида а 2 + х 2? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла 
.
80. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида х 2 – а 2? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла 
.
81. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычислить 
.
82. Замена переменных в определённом интеграле. Проиллюстрировать приём на примере интеграла 
.
83. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Проиллюстрировать приём
на примере интеграла 
.
84. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Вычислить 
.
85. Несобственные интегралы от функций, неограниченных на отрезке интегрирования. Сходится ли интеграл 
? Какой результат дало бы формальное применение формулы Ньютона-Лейбница?
86. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления фигуры, ограниченной линиями у = 
, у = х 2.
87. Вычисление объёма тела вращения. Проиллюстрировать формулу на примере
вычисления объёма тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у 2 = 9 х, у = 3 х.
88. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Решение дифференциального уравнения. Является ли функция у = 
решением уравнения у “ + y y ‘ = 0?
Является ли она общим решением? Что собой представляет интегральная кривая рассмотренного уравнения? Построить её. Как превратить решение в интеграл уравнения?
89. Проиллюстрировать алгоритм составления дифференциального уравнения заданного семейства кривых на примере функции у = С 1 е 2 х + С 2 е – х. Каков тип составленного уравнения? Решить задачу Коши с начальными условиями
у (0) = 1, у ‘ (0) = - 1.
90. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Проиллюстриро-вать приём интегрирования на примере уравнения (х 2 – 1) у ‘ + 2 ху 2 = 0. Решить задачу Коши при начальном условии у (0) = 1. Построить соответствующую интегральную кривую.
91. Однородные функции. Привести пример какой-нибудь однородной функции 3-го порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения у ‘ = 
. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Возможна ли в данном случае запись в виде решения?
92. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Проиллюстрировать метод вариации произвольной постоянной при интегрировании линейного уравнения на примере у ‘ - 
у = 2 х 3. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Для всякого ли линейного уравнения возможна запись общего решения?
93. Проиллюстрировать метод замены искомой функции произведением двух функций при интегрировании линейного уравнения на примере у ‘ + у tg х = 
. Решить задачу Коши при начальном условии у (0) = 1. Построить соответствующую интегральную кривую.
94. Дифференциальное уравнение Бернулли. Проиллюстрировать метод подстановки при интегрировании на примере уравнения у ‘ + у = у 2 х. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Для всякого ли уравнения Бернулли возможна запись общего решения? Какими методами ещё можно
проинтегрировать уравнение Бернулли?
95. Уравнение в форме дифференциалов. Критерий уравнения в полных дифференци-алах. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения
2 х cos 2 у d x + (2 y – x 2sin 2 y) d y = 0. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл?
96. Уравнения высших порядков, не содержащие явно искомой функции и её первых производных. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения
х 2 у ‘’ + ху ‘ = 1. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Сколько в записи произвольных постоянных?
97. Уравнения высших порядков, не содержащие явно независимой переменной. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения у ‘’ + 2 y y ‘ = 0
с начальными условиями у (0) = 2, y ‘ (0) = - 4. Возможн