МНОЖЕСТВА.
Множеством назыв. совокупность однородных элементов (объектов), удовлетворяя некоторому свойству, кот. назыв. характеристическим свойством множества. (Множество A,B)
Объекты, из кот. состоят множества назыв. элементами.
Множество A назыв. подмножеством множества B, если все элементы A явл. элементами B. (A∈ B)
Множество назыв. пустым, если оно не содержит элементов.
Множество назыв. конечным, если оно содержит конечное число элементов, например, множество целых чисел от 0 до 10.
Если число элементов множества бесконечно, то данное множество назыв. бесконечным. Например, бесконечным явл. множество точек отрезка чисел прямой A,B.
Если каждому элементу множества A можно поставить в соответствие единственный элемент множества B, и наоборот, то между этими множествами существует взаимооднозначное соответствие.
Множество A наз. счетным, если каждому его элементу можно поставить в соответствие натуральное число.
Операции над множествами.
1. Объединением множеств A и B назыв. множество элементов либо мн-а A, либо мн-ва B, либо и A, и B. (A∪B)
2. Пересечением множеств A и B назыв. множество элементов, кот. явл. и элементами мн-а A, и элементами мн-ва B. (A∩B)
3. Разностью множеств A\B наз. множество элементов мн-ва A, кот. не явл. мн-вом B.
4. Пусть заданы 2 множества A и B, причем A включается в B. Дополнением мн-ва A наз. множество элементов мн-а B, кот. не входит в A.
5. Декартовым произведением мн-ва A и B наз. множество C=A·B, состоящее из упорядоченных пар (a:b), причем a∈A, b∈B.
Предположим, что A∈[a;b]; B∈[c;d].
Квантор общности ∀x ∈ X (для любого x из мн-ва X)
Квантор существования ∃n ∈ N (существ. натуральное число n)
Числовые множества. Грани множеств.
Числовыми множествами наз. мн-ва, элементами кот. являются числа.
N={1;2…} – множество натуральных чисел
Z={0;±1;±2…} – множество целых чисел
Q={m/n; m∈Z: n∈N} – множество рациональных чисел
R=(-∞; +∞) – множество действительных чисел
Число K наз. верхней гранью мн-ва A, если для любого ∀x ∈ A выполняется неравенство x ≤ K
Число K наз. нижней гранью мн-ва A, если для любого ∀x ∈ A выполняется неравенство x ≥ K
Любое множество имеет мн-во верхних или нижних граней.
Наибольшая из нижних частей множества называется точной нижней гранью множества или инфимумом. (infA)
Наименьшая из верхних частей множества называется точной верхней гранью множества или супремумом. (supA)
A={1/n; n∈N}, supA=1, infA=0.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Пусть заданы 2 множества x и y.
Говорят, что на множестве x задана функция y=f(x), если существует некоторое правило, по которому каждому элементу из множества x ставится в соответствие элемент из множества y.
Т.е. ф-ия есть соотношение между двумя множествами.
x – область определения D(t)
y – область значений E(t)
Числовой последовательностью, обозн. {xn}∞n=1, назыв. функция натурального аргумента.
Задать числовую последовательность – это значит задать правило, по кот. каждому натуральному числу n ставится в соответствие некоторый член числовой последовательности.
Пример: 
; n=3⇒ 
- числовые посл-ти чаще всего задаются в виде общего члена.
Ограниченные последовательности.
- Посл-ть xn называется огранич. сверху, если сущ. некоторое действительное число M, такое, что все элементы последовательности не превосходят этого числа.
{xn}∞n>1 - огр. сверху ó ∃M ∈ R ∀n ∈ N xn ≤ M
- Посл-ть xn называется огранич. снизу, если сущ. некоторое действительное число M, такое, что любой
член последовательности ≥ M.
{xn}∞n=1 - огр. снизу ó ∃M ∈ R ∀n ∈ N xn ≥ M
3. Посл-ть xn называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. сущ. некоторое число
M ≠0, такое, что любой член посл-ти ≤ M.